2017-天津卷理-07 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的解析式求法，以及三角函数的周期、对称轴与零点。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 设函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )$，$x\in \mathbb{R}$，其中 $\omega >0$，$|\phi |<\pi$.若 $f(\frac{5\pi }{8})=2$，$f(\frac{11\pi }{8})=0$，且 $f(x)$ 的最小正周期大于 $2\pi$，则 ()

A. $\omega =\frac{2}{3},\phi =\frac{\pi }{12}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\omega =\frac{2}{3},\phi =-\frac{11\pi }{12}$

C. $\omega =\frac{1}{3},\phi =-\frac{11\pi }{24}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\omega =\frac{1}{3},\phi =\frac{7\pi }{24}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用特征点建立方程：

• $f(\frac{5\pi }{8})=2$ 说明 $x=\frac{5\pi }{8}$ 是函数的一个最高点，满足 $\frac{5\pi }{8}\omega +\phi =2k_1\pi +\frac{\pi }{2}$。
• $f(\frac{11\pi }{8})=0$ 说明 $x=\frac{11\pi }{8}$ 是一个零点，满足 $\frac{11\pi }{8}\omega +\phi =k_2\pi$。

2. 利用周期条件限制 $\omega$：

• 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }>2\pi$，推出 $0<\omega <1$。

3. 联立求解 $\omega$：

• 两式相减：$(\frac{11\pi }{8}-\frac{5\pi }{8})\omega =k_2\pi -(2k_1\pi +\frac{\pi }{2})$。
• 化简得 $\frac{3\pi }{4}\omega =(k_2-2k_1)\pi -\frac{\pi }{2}⟹\omega =\frac{4}{3}(k_2-2k_1)-\frac{2}{3}$。
• 在 $0<\omega <1$ 范围内寻找符合条件的整数。

4. 求初相 $\phi$：

• 将求得的 $\omega$ 代入其中一个方程，结合 $|\phi |<\pi$ 确定 $\phi$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】

1. 建立等式： 由 $f(\frac{5\pi }{8})=2$ 可得：$\frac{5\pi }{8}\omega +\phi =2k_1\pi +\frac{\pi }{2}$ ① 由 $f(\frac{11\pi }{8})=0$ 可得：$\frac{11\pi }{8}\omega +\phi =k_2\pi$ ②
2. 确定 $\omega$ 的范围： 因为 $T=\frac{2\pi }{\omega }>2\pi$ 且 $\omega >0$，所以 $0<\omega <1$。
3. 求解 $\omega$： ② - ① 得：$\frac{6\pi }{8}\omega =(k_2-2k_1)\pi -\frac{\pi }{2}$， 即 $\frac{3}{4}\omega =(k_2-2k_1)-\frac{1}{2}$。 令 $m=k_2-2k_1(m\in \mathbb{Z})$，则 $\omega =\frac{4}{3}m-\frac{2}{3}$。

• 当 $m=1$ 时，$\omega =\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\in (0,1)$，符合条件。
• 当 $m=0$ 时，$\omega =-\frac{2}{3}$（舍）；当 $m=2$ 时，$\omega =2$（舍）。 故 $\omega =\frac{2}{3}$。

4. 求解 $\phi$： 将 $\omega =\frac{2}{3}$ 代入 ①：$\frac{5\pi }{8}\cdot \frac{2}{3}+\phi =2k_1\pi +\frac{\pi }{2}$， $\frac{5\pi }{12}+\phi =2k_1\pi +\frac{6\pi }{12}⟹\phi =2k_1\pi +\frac{\pi }{12}$。 由于 $|\phi |<\pi$，取 $k_1=0$，得 $\phi =\frac{\pi }{12}$。 综上，$\omega =\frac{2}{3},\phi =\frac{\pi }{12}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 最高点与零点的间距：最高点到相邻零点的距离是 $\frac{1}{4}T$ 或 $\frac{3}{4}T$。本题中 $\Delta x=\frac{6\pi }{8}=\frac{3\pi }{4}$。若 $\Delta x=\frac{1}{4}T$，则 $T=3\pi >2\pi$，此时 $\omega =\frac{2\pi }{3\pi }=\frac{2}{3}$。这种几何直观解法更快。
• 处理 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 题目，核心是“抓特征点”。最高点对应相位 $2k\pi +\pi /2$，零点对应 $k\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $f(\frac{11\pi }{8})=0$ 改为 $f(x)$ 在 $\frac{11\pi }{8}$ 处取得最小值 -2，$\omega$ 会是多少？（提示：此时 $\Delta x=\frac{1}{2}T$）。
2. 知识关联：本题考查解析式的逆向求解。在实际考试中，也可以将选项直接代入两个已知点坐标进行快速排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-16 解-三角函数
• 2014-福建卷文-07 单-三角函数
• 2014-福建卷文-18 解-三角函数