2014-福建卷文-09 单-基本不等式

本题导读

本题由容积定底面积，把总造价写成底边长之和的函数，再用基本不等式求最小值。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 容积为 $4{\mathrm{m}}^3$、高为 $1\mathrm{m}$ 的无盖长方体容器，底面造价 20 元/${\mathrm{m}}^2$，侧面造价 10 元/${\mathrm{m}}^2$，求最低总造价.()

A. $80$ 元　B. $120$ 元　C. $160$ 元　D. $240$ 元

🔍【思路分析】

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设底面边长 $x,y$（$\mathrm{m}$），由容积得 $xy=4$；总造价 $W=20xy+10\times 2(x+y)\times 1=80+20(x+y)$，再对 $x+y$ 用基本不等式。

✅【答案】

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最低总造价

✍【详细解析】

详细解析

由 $xy=4$ 得底面积固定，$W=20\times 4+10\times 2(x+y)=80+20(x+y)⩾80+20\times 2\sqrt{xy}=80+80=160$（元），当且仅当 $x=y=2$ 时取等，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式在实际问题中的应用
2. 核心方法：“积定和最小”
3. 避坑指南：“无盖”意味着只有 4 个侧面，侧面面积是 $2(x+y)\times 1$ 而非 $2(x+y+z)$；取等条件 $x=y=2$ 要检验是否满足实际约束（本题满足），漏检是常见扣分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 造价最优化是基本不等式的经典应用场景，本题数据（容积 4、高 1）使底积为定值 4，恰构成“积定”。
2. 结论推广: 若侧面造价为 $a$ 元/${\mathrm{m}}^2$，则 $W=80+2a(x+y)⩾80+8a$，最值随 $a$ 线性变化。
3. 方法推广: “设元 — 列函数 — 定定值 — 用不等式 — 检验取等”五步是所有不等式应用题的通用框架。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-13 填-基本不等式的应用
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理