2014-福建卷文-12 单-轨迹新定义

本题导读

本题按新定义写出距离和方程，去绝对值后分段讨论：中间段得两条水平线段、两侧得两条斜线段，对照图象即得。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 在平面直角坐标系中，两点 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$ 间的“L-距离”定义为 $\Vert P_1{P}_2\Vert =|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$，则平面内与 $x$ 轴上两个不同的定点 $F_1$、$F_2$ 的“L-距离”之和等于定值（大于 $\Vert F_1{F}_2\Vert$）的点的轨迹可以是 ()

🔍【思路分析】

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设 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，轨迹点 $P(x,y)$ 满足 $|x+c|+|x-c|+2|y|=2a$（$a>c$）。分 $x$ 的三段去绝对值，看 $y$ 的图象形态。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

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记定值为 $2a$（$a>c$）。当 $-c⩽x⩽c$ 时，$|x+c|+|x-c|=2c$，故 $|y|=a-c$，轨迹为两条水平线段 $y=\pm (a-c)$；当 $|x|>c$ 时，$|x+c|+|x-c|=2|x|$，故 $|y|=a-|x|(|x|<a)$，为四条斜率 $\pm 1$ 的线段。整体是无竖直边的“扁菱形”轮廓，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义下的轨迹方程与图象
2. 核心方法：分段去绝对值 + 图象拼接
3. 避坑指南：去绝对值必须按 $x$ 的三段分别讨论，跨段混写会得到“连通菱形”的错误图象；另外竖直方向上 $|y|$ 只出现一次、水平方向出现两次，正是图象“上下封顶、左右斜出”的本质，忽视系数差异就会错选 C 或 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 以曼哈顿距离（L-距离）为背景的定义题源于数学真实分支，是 2014 年福建卷区分度最高的小题（难度值 0.4）。
2. 结论推广: 把“距离和为定值”的欧氏椭圆换成 L-距离，椭圆蜕化为“水平线段 + 斜线段”的折线轮廓——度量变了，轨迹形态随之改变。
3. 方法推广: 新定义题的通法：先把定义翻译成方程，再通过分段（分类）把绝对值拆干净，最后与选项图象比对特征（顶点、端点、对称性）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-12 单-三视图还原几何体
• 2014-北京卷理-17 解-线线平行与线面平行