2014-上海卷文-22 解-曲线分隔线

本题导读

新定义压轴。三问层层递进：先按定义直接验证，再把”分隔”翻译成”无公共点 + 曲线上存在异号点对”，最后求轨迹方程并验证 $y$ 轴满足两条件。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于直线 $l:ax+by+c=0$ 和点 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，记 $\eta =(a{x}_1+b{y}_1+c)(a{x}_2+b{y}_2+c)$. 若 $\eta <0$，则称点 $P_1$，$P_2$ 被直线 $l$ 分隔. 若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_1$，$P_2$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.

(1) 求证：点 $A(1,2)$，$B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔；

(2) 若直线 $y=kx$ 是曲线 $x^2-4y^2=1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围；

(3) 动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 1，设点 $M$ 的轨迹为 $E$. 求 $E$ 的方程，并证明 $y$ 轴为曲线 $E$ 的分隔线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问按定义代入计算 $\eta$ 即可。
2. 第(2)问：分隔线先要”无公共点”，联立后用 $x^2$ 的系数判断无解；再取曲线上两个特殊点验证异号。
3. 第(3)问：设 $M(x,y)$，把”距离之积为 1”写成坐标等式；验证 $y$ 轴时分”无公共点”与”存在分隔点对”两步。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $k\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

(3) $E$ 的方程为 $\left(x^2+(y-2{)}^2\right)x^2=1$；$y$ 轴为曲线 $E$ 的分隔线

✍【详细解析】

Abstract

(1) 直线 $x+y-1=0$ 对应 $a=b=1$，$c=-1$。

$\eta =(1+2-1)\times (-1+0-1)=2\times (-2)=-4<0,$

故点 $A$，$B$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔。

(2) 先看无公共点：联立 $y=kx$ 与 $x^2-4y^2=1$，得

$x^2-4k^2{x}^2=1⟹(1-4k^2)x^2=1.$

该方程无实数解等价于 $1-4k^2⩽0$，即 $|k|⩾\frac{1}{2}$。

再看分隔：取曲线 $x^2-4y^2=1$ 上的两点 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$（均在曲线上），对直线 $y=kx$ 即 $kx-y=0$，

$\eta =(k\cdot 1-0)(k\cdot (-1)-0)=-k^2<0(\text{因 }|k|⩾\frac{1}{2}\Rightarrow k\ne 0).$

故当 $|k|⩾\frac{1}{2}$ 时 $y=kx$ 是分隔线；所求范围为 $k\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$。

(3) 设 $M(x,y)$，$M$ 到 $Q(0,2)$ 的距离为 $\sqrt{x^2+(y-2{)}^2}$，到 $y$ 轴的距离为 $|x|$。由题意

$\sqrt{x^2+(y-2{)}^2}\cdot |x|=1,$

两边平方得 $E$ 的方程

$\left(x^2+(y-2{)}^2\right)x^2=1.$

验证 $y$ 轴（即直线 $x=0$）是分隔线：

① 无公共点：若 $x=0$，方程左边为 $0$，不可能等于 $1$，故 $E$ 与 $y$ 轴没有公共点。

② 存在被分隔的点对：取 $E$ 上 $x=1$ 的点，方程化为 $1+(y-2{)}^2=1$，得 $y=2$，即点 $P_1(1,2)\in E$；同理 $P_2(-1,2)\in E$。对直线 $x=0$，$\eta =1\times (-1)=-1<0$，即 $P_1,P_2$ 被 $y$ 轴分隔。

综上，$y$ 轴为曲线 $E$ 的一条分隔线.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义的理解与运用；直线与双曲线的位置关系；轨迹方程的建立；代入验证。

2. 核心方法：“分隔线 = 无公共点 + 存在异号点对”，两个条件缺一不可，按此拆解逐条验证。

3. 避坑指南：① 第(2)问 $1-4k^2⩽0$ 取等时方程变为 $0=1$，仍无公共点，故 $k=\pm \frac{1}{2}$ 可以取到；② 验证分隔时所选两点必须在曲线上且横坐标异号，不能随便取点；③ 第(3)问平方扩大了”距离非负”的信息，但由于两边均为正，方程同解，无需剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “新定义 + 轨迹 + 位置关系”是上海卷压轴的经典配方，定义本身并不深，难在把定义翻译成可操作的代数条件。

2. 结论推广: 把第(2)问的曲线换成单位圆 $x^2+y^2=1$，则任何过原点的直线都与圆有公共点，分隔线不存在 —— “存在分隔线”与曲线的无界性密切相关。

3. 方法推广: “新定义题三步：读懂定义 → 翻译成代数条件 → 逐问验证”，遇到存在性问题优先取特殊点试探。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-12 单-轨迹新定义
• 2014-湖北卷文-22 解-轨迹分类