2014-福建卷文-14 填-解三角形

本题导读

本题已知 $A=60^{\circ }$ 与 $A$ 的两条邻边 $AC=2$、$AB=c$（待求），$BC=\sqrt{3}$ 为对边 $a$，用余弦定理列方程解 $c$。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$A=60^{\circ }$，$AC=2$，$BC=\sqrt{3}$，求 $AB$.

🔍【思路分析】

破题导航

由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$：$b=AC=2$，$a=BC=\sqrt{3}$，代入解关于 $c=AB$ 的一元二次方程。

✅【答案】

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$AB$ 的长

✍【详细解析】

详细解析

由余弦定理，$(\sqrt{3}{)}^2=2^2+c^2-2\times 2c\cos 60^{\circ }$，即 $3=4+c^2-2c$，整理得 $c^2-2c+1=0$，故 $c=1$，即 $AB=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理解三角形
2. 核心方法：已知两边及夹角求第三边
3. 避坑指南：判别式为 0 说明三角形唯一（此时 $A=60^{\circ }$ 且三边成 $1,\sqrt{3},2$ 的直角三角形关系）；把 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 代错或漏乘 $2bc$ 都会解出增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题方程 $c^2-2c+1=0$ 判别式为零，答案唯一，命题人刻意构造了“$30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$”型直角三角形的变式。
2. 结论推广: 答案 $c=1$ 后可验算：三边 $1,\sqrt{3},2$ 满足勾股定理，$A=60^{\circ }$ 吻合。
3. 方法推广: 余弦定理是双刃公式：知三求一，也可以“知三求角”，代入前先画图标注哪条边对哪个角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-12 填-正弦定理与余弦定理的综合应用
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理