2014-福建卷理-08 单-平面向量基本定理

本题导读

本题考查平面向量基本定理。判断一组向量能否表示出平面内的任意向量（包括目标向量），本质上就是判断这组向量能否构成平面内的一组基底，即判断它们是否为非零且不共线的向量。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 在下列向量组中，可以把向量 $\vec{a}=(3,2)$ 表示出来的是()

A. ${\vec{e}}_1=(0,0),{\vec{e}}_2=(1,2)$　　B. ${\vec{e}}_1=(-1,2),{\vec{e}}_2=(5,-2)$

C. ${\vec{e}}_1=(3,5),{\vec{e}}_2=(6,10)$　　D. ${\vec{e}}_1=(2,-3),{\vec{e}}_2=(-2,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾定理：根据平面向量基本定理，如果 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，使 $\vec{a}={\lambda }_1{\vec{e}}_1+{\lambda }_2{\vec{e}}_2$。
2. 转化问题：题目要求解“哪组向量可以把 $\vec{a}$ 表示出来”，实际上就是问选项中哪一组向量 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 是不共线的。
3. 坐标判定：对于向量 $\vec{u}=(x_1,y_1)$ 和 $\vec{v}=(x_2,y_2)$，它们共线的充要条件是 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。据此逐一排查各个选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

要使向量组 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 能表示平面内的向量 $\vec{a}$，则 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 必须是不共线的向量（即能构成一组基底）。我们利用共线坐标判定公式 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 逐项检查：

• A选项：${\vec{e}}_1=(0,0)$。零向量与任意向量共线，不能作为基底。故 A 错误。
• B选项：$(-1)\times (-2)-2\times 5=2-10=-8\ne 0$。两向量不共线，可以作为基底表示平面内任意向量（包括 $\vec{a}$）。故 B 正确。
• C选项：$3\times 10-5\times 6=30-30=0$。两向量共线（实际上 ${\vec{e}}_2=2{\vec{e}}_1$），只能表示与它们共线的向量，可知 $\vec{a}=(3,2)$ 与它们不共线（$3\times 5-2\times 3=9\ne 0$）。故 C 错误。
• D选项：$2\times 3-(-3)\times (-2)=6-6=0$。两向量共线（实际上 ${\vec{e}}_2=-{\vec{e}}_1$）。故 D 错误。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基本定理与向量共线的坐标判定

2. 核心方法：判断 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 是否不共线（$x_1{y}_2-x_2{y}_1\ne 0$）且非零

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量基底与共线条件

2. 结论推广: 两向量可作为基底的充要条件是线性无关（坐标行列式非零）。

3. 方法推广: 可迁移到判断向量组能否表示目标向量、基底选取类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-02 单-平面向量基本定理
• 2013-北京卷理-13 填-平面向量的基本定理
• 2023-新高考II卷-13 填-平面向量