2014-辽宁卷文-16 填-最值问题

本题导读

设 $u=2a+b$，把 $4a^2-2ab+b^2=c$ 看成关于 $a$ 的二次方程，由 $\Delta ⩾0$ 求出 $|u|$ 的最大值及取到等号时的关系。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 对于 $c>0$，当非零实数 $a$，$b$ 满足 $4a^2-2ab+b^2-c=0$ 且使 $|2a+b|$ 最大时，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $|2a+b|$ 最大定出 $b=2a$、$c=4a^2$，再把目标式化为关于 $\frac{1}{a}$ 的二次式。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

记 $u=2a+b$，则 $b=u-2a$，代入 $4a^2-2ab+b^2=c$： $4a^2-2a(u-2a)+(u-2a{)}^2=4a^2-2au+4a^2+u^2-4au+4a^2=12a^2-6au+u^2$， 即 $12a^2-6au+(u^2-c)=0$。 这是关于 $a$ 的二次方程，因其有实根，故 $\Delta =36u^2-48(u^2-c)=48c-12u^2⩾0$， 即 $u^2⩽4c$，所以 $|u|=|2a+b|⩽2\sqrt{c}$。 当 $|2a+b|$ 取最大值 $2\sqrt{c}$ 时 $\Delta =0$，此时 $a=\frac{6u}{24}=\frac{u}{4}$，$b=u-2a=\frac{u}{2}=2a$，且由 $4a^2-2ab+b^2=c$ 得 $c=4a^2$。 于是 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{2}{a}={\left(\frac{1}{a}+1\right)}^2-1⩾-1$， 当且仅当 $\frac{1}{a}=-1$，即 $a=-1$（此时 $b=-2$，$c=4$）时取到等号。 故最小值为 $-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：判别式法与配方法求最值

2. 核心方法：判别式定参数关系，再配方求最值

3. 避坑指南：先用判别式把「$|2a+b|$ 最大」翻译成 $b=2a$（或 $b=a/2$ 的等价关系）与 $c=4a^2$，再代入目标式配方；忽略「最大」这一条件会无从下手。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二次方程有实根的条件与二次函数的最值。

2. 结论推广: 关于 $a$ 的二次方程 $12a^2-6ua+u^2-c=0$ 有实根等价于 $\Delta =48c-12u^2⩾0$。

3. 方法推广: 「先定等式约束、再配方求最值」是二元条件最值的通用路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式
• 2014-新课标I卷理-24 解-算术-几何平均值不等式