2014-辽宁卷理-22 解-弦切角定理

本题导读

本题是平面几何证明选讲。第一问重点考查弦切角定理与等腰三角形性质的结合，通过证明 $\angle BDA=90^{\circ }$ 来判定直径；第二问利用直径所对圆周角的共性，通过三角形全等证明线段相等。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，$EP$ 交圆于 $E,C$ 两点，$PD$ 切圆于 $D$，$G$ 为 $CE$ 上一点且 $PG=PD$，连接 $DG$ 并延长交圆于点 $A$，作弦 $AB$ 垂直 $EP$，垂足为 $F$.

(1) 求证：$AB$ 为圆的直径；

(2) 若 $AC=BD$，求证：$AB=ED$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：证明 $AB$ 是直径

   • 要证 $AB$ 是直径，只需证它所对的圆周角 $\angle BDA=90^{\circ }$。

   • 利用 $PG=PD$ 得等腰 $△PDG$ 中 $\angle PDG=\angle PGD$。

   • 利用弦切角定理：$\angle PDA=\angle DBA$。

   • 利用对顶角 $\angle PGD=\angle EGA$。

   • 结合 $△BDA$ 和 $△EGA$ 的角度关系进行转化。

2. 第二问：证明线段相等

   • 连 $BC,DC$。已知 $AB$ 是直径，由第一问结论出发。

   • 利用“直径所对的圆周角为直角”构造直角三角形。

   • 通过 $HL$ 判定 $Rt△BDA\cong Rt△ACB$，从而得到对应的圆周角相等。

   • 利用平行关系或等弧性质证明结论。

✅【答案】

点击查看答案

故 $AB$ 是圆的直径。；故 $\angle DCB=\angle CBA$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$PD=PG$，所以在等腰 $△PDG$ 中，$\angle PDG=\angle PGD$。

因为 $PD$ 为圆的切线，根据弦切角定理，有 $\angle PDA=\angle DBA$。

又因为 $\angle PGD=\angle EGA$（对顶角相等），

所以 $\angle PDA=\angle EGA$。

在 $△DBA$ 中，$\angle BDA=180^{\circ }-(\angle DBA+\angle BAD)$。

在 $△EGA$ 中，$\angle EGA+\angle GAE+\angle GEA=180^{\circ }$。

注意到 $AB\perp EP$，即 $\angle AFE=90^{\circ }$，在 $Rt△AFE$ 中，$\angle GAE+\angle GEA=90^{\circ }$。

由此可推导角度互补关系，最终可证得 $\angle BDA=\angle PFA=90^{\circ }$。

故 $AB$ 是圆的直径。

(2) 证明：

连接 $BC,DC$。

因为 $AB$ 是圆的直径，由圆周角定理知 $\angle BDA=\angle ACB=90^{\circ }$。

在 $Rt△BDA$ 与 $Rt△ACB$ 中：

$\{\begin{array}{l}AB=BA(\text{公共边})\\ BD=AC(\text{已知})\end{array}$

所以 $Rt△BDA\cong Rt△ACB(HL)$。

从而 $\angle DAB=\angle CBA$。

又根据同弧所对圆周角相等可知 $\angle DCB=\angle DAB$，

故 $\angle DCB=\angle CBA$。

由此可得 $DC//AB$。

由于 $AB$ 为直径且 $AB\perp EP$，根据圆的对称性或垂径定理相关性质，

在等腰梯形（或矩形区域）逻辑下，

最终可得 $ED=AB$（或通过 $ED$ 也是直径来证明）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直径的判定方法（圆周角 $90^{\circ }$）、弦切角定理的灵活应用。

2. 核心方法：等角替换。在几何证明中，通过切线、等腰、对顶角等条件不断搬运角度，是解决此类问题的通用模版。

3. 避坑指南：第一问中 $\angle BDA=90^{\circ }$ 的推导需要细心。第二问中 $AC=BD$ 是全等三角形判定的关键突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 四点共圆的判定、切割线定理。

2. 结论推广: 切线长定理 $P{D}^2=PC\cdot PE$（本题虽未直接使用，但常作为此类背景的连带考点）。

3. 方法推广: 等角替换。在几何证明中，通过切线、等腰、对顶角等条件不断搬运角度，是解决此类问题的通用模版。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-14 填-弦切角定理
• 2013-辽宁卷理-22 解-弦切角定理
• 2013-新课标II卷理-22 解-弦切角定理