2013-重庆卷理-14 填-弦切角定理

本题导读

本题考查圆的性质，以及弦切角定理。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 如题(14)图，在 $△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$\angle A=60^{\circ }$，$AB=20$.过 $C$ 作 $△ABC$ 的外接圆的切线 $CD$，$BD\perp CD$，$BD$ 与外接圆交于点 $E$，则 $DE$ 的长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解直角三角形：在直角 $△ABC$ 中，已知斜边 $AB$ 和 $\angle A$，可求出 $BC$。
2. 确定角度（弦切角定理）：$CD$ 是切线，$BC$ 是弦，故弦切角 $\angle BCD$ 等于它所夹弧所对的圆周角 $\angle A$。
3. 求解直角三角形 $BCD$：已知 $BC$ 和 $\angle BCD$，在直角 $△BCD$ 中求出 $BD$ 和 $CD$。
4. 利用切割线定理：$CD$ 是切线，$DB$ 是割线，$D$ 是圆外一点，满足 $C{D}^2=DE\cdot DB$。
5. 求解结果：代入已知线段长，求出 $DE$。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $BC$ 的长度 在直角 $△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$AB=20$，$\angle A=60^{\circ }$。 $BC=AB\cdot \sin A=20\cdot \sin 60^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$

第二步：应用弦切角定理 因为 $CD$ 是圆的切线，$CB$ 是过切点的弦， 根据弦切角定理，弦切角 $\angle BCD$ 等于它所夹弧所对的圆周角 $\angle BAC$。 故 $\angle BCD=\angle A=60^{\circ }$。

第三步：求 $BD$ 和 $CD$ 的长度 在直角 $△BCD$ 中，$\angle BDC=90^{\circ }$，$BC=10\sqrt{3}$，$\angle BCD=60^{\circ }$。

• $BD=BC\cdot \sin 60^{\circ }=10\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15$
• $CD=BC\cdot \cos 60^{\circ }=10\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=5\sqrt{3}$

第四步：应用切割线定理 由切割线定理知，从圆外一点 $D$ 引出的切线段 $CD$ 与割线 $DB$ 满足： $C{D}^2=DE\cdot DB$ 将已知数值代入： $(5\sqrt{3}{)}^2=DE\cdot 15$ $75=15\cdot DE$ $DE=5$

故答案为：5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“几何定理转换”。将圆的切线属性转化为角度（弦切角），再转化为线段比例关系（切割线）。 2. 关键定理： - 弦切角定理：切线与弦所成的角等于弦所对的圆周角。 - 切割线定理：$P{T}^2=PA\cdot PB$。

避坑指南：注意 $\angle BCD$ 的对应角是 $\angle A$ 而不是 $\angle B$。解三角形时，务必看清哪条边是斜边（本题 $BC$ 是 $△BCD$ 的斜边）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相交弦定理、四点共圆的判定。

结论推广：若 $AB$ 为直径（直角三角形外接圆特性），则圆心即为 $AB$ 的中点。

方法推广：平面几何综合题通常遵循“找等角 $\to$ 算边长 $\to$ 用定理”的步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦