2014-重庆卷文-07 单-三视图体积

本题导读

由三视图知几何体是直三棱柱被一个平面斜截所得：底面直角三角形直角边 $3$、$4$，三条侧棱高 $5$、$5$、$2$。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A. $12$　　　　　　　B. $18$　　　　　　　C. $24$　　　　　　　D. $30$

🔍【思路分析】

破题导航

底面积 $6$，三个顶点处高度 $5$、$5$、$2$，体积等于底面积乘平均高。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

由俯视图知底面是直角边为 $3$、$4$ 的直角三角形，$S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$。 由正视图与左视图知：几何体是直立的三棱柱被一个平面斜截所得，三个底面顶点处的高分别为 $5$、$5$、$2$（正视图两端为 $5$ 与 $2$，左视图中虚线表明另一顶点处高为 $5$）。 斜截柱体的体积等于底面积乘以三条侧棱高的平均值： $V=6\times \frac{5+5+2}{3}=6\times 4=24$，故选 C （也可先补成高为 $5$ 的直三棱柱 $V_1=6\times 5=30$，再减去高为 $0$、$0$、$3$ 的楔形 $6\times \frac{0+0+3}{3}=6$，得 $30-6=24$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原与几何体的体积

2. 核心方法：斜截柱体”平均高”公式 $V=S_{\text{底}}\cdot \frac{h_1+h_2+h_3}{3}$

3. 避坑指南：正视图中的 $5$ 与 $2$ 是两条侧棱的高，不是同一个量的两个读数；直接套”底面积 $\times$ 正视图高”会得到错误结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图与空间几何体的体积。

2. 结论推广: 底面为直角边 $3$、$4$ 的直角三角形，$S=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$；三顶点处的高分别为 $5$、$5$、$2$。

3. 方法推广: 三视图体积题先由俯视图定底面形状与面积，再由正视图、侧视图确定各处高度；斜截柱体用平均高公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-5
• 2014-安徽卷文-08 单-三视图体积