2014-陕西卷文-09 单-均值与方差

本题导读

写出 $y_i=x_i+100$，分别代入均值与方差的定义。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 某公司 $10$ 位员工的月工资（单位：元）为 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_{10}$，其均值和方差分别为 $\bar{x}$ 和 $s^2$，若从下月起每位员工的月工资增加 $100$ 元，则这 $10$ 位员工下月工资的均值和方差分别为()

A. $\bar{x}$，$s^2+100^2$　　B. $\bar{x}+100$，$s^2+100^2$　　C. $\bar{x}$，$s^2$　　D. $\bar{x}+100$，$s^2$

🔍【思路分析】

破题导航

均值随平移加 $100$；方差看「离均差」$y_i-\bar{y}=x_i-\bar{x}$，不变。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设下月工资为 $y_i=x_i+100$（$i=1,2,\cdots ,10$）。 均值：$\bar{y}=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}(x_i+100)=\bar{x}+100$。 方差：$s_y^2=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}(x_i-\bar{x}{)}^2=s^2$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：样本均值与方差的线性变换

2. 核心方法：平移不改变离散程度

3. 避坑指南：每个数据都加 $100$，均值加 $100$ 而方差不变——方差度量「波动」，与整体平移无关；误把 $100^2$ 加进方差是典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 样本的数字特征（均值与方差）及其线性变换。

2. 结论推广: $y_i=x_i+c$ 时，$\bar{y}=\bar{x}+c$，$s_y^2=s_x^2$。

3. 方法推广: 数据整体平移只平移均值、不改变方差；只有伸缩 $y_i=k{x}_i$ 才使方差变为 $k^2$ 倍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-09 单-样本的数字特征
• 2014-广东卷文-17 解-统计特征数