2013-辽宁卷理-16 填-平均数与方差

本题导读

本题考查样本估计总体，以及平均数与方差。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立方程组：设 5 个样本数据分别为 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，且满足 $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$。
   • 根据平均数公式：$\sum x_i=5\times 7=35$。
   • 根据方差公式：$\frac{1}{5}\sum (x_i-7{)}^2=4⟹\sum (x_i-7{)}^2=20$。
2. 约束条件分析：
   • $x_i$ 均为正整数。
   • $x_i$ 互不相同。
   • $\sum (x_i-7{)}^2=20$ 意味着这 5 个数与平均数 7 的离差平方和为 20。
3. 凑数推理： 由于 20 是由 5 个互不相同的平方数（且平方数的底数 $x_i-7$ 也要互不相同）组成的。考虑离差 $y_i=x_i-7$，则 $\sum y_i=0$ 且 $\sum y_i^2=20$。

✅【答案】

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10

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化变量 设 $y_i=x_i-7$，则： 4. $y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=0$ 5. $y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+y_5^2=20$ 6. $y_1<y_2<y_3<y_4<y_5$，且 $y_i$ 为整数。

第二步：寻找满足条件的整数 $y_i$ 常见的平方数有：$0,1,4,9,16$。 要使 5 个平方数之和为 20，可能的组合为：

• 情况 A：$16+1+1+1+1=20$（不满足互不相同，舍去）。
• 情况 B：$9+4+4+2+1\dots$（非平方数，舍去）。
• 情况 C：考虑包含 $9$ ($3^2$)。若有一个 $y_i^2=9$，则剩余四项平方和为 11。$11=4+4+1+2$（舍去）。
• 情况 D：考虑包含 $4$ ($2^2$)。若 $y_i^2$ 序列包含 $9,4,4,1,2$ 等都不行。 我们尝试一组对称或接近的整数： 观察 $20=9+4+4+1+2$（不行），$20=9+1+1+9$（只有四项）。 正确的组合为：$y_i$ 取值 $\{-3,-1,0,1,3\}$。 验证：
• 平方和：$(-3{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+3^2=9+1+0+1+9=20$（符合条件）。
• 和：$-3+(-1)+0+1+3=0$（符合条件）。 此时 $x_i=y_i+7$，数据组为 $\{4,6,7,8,10\}$。

第三步：确定最大值 样本数据为 $4,6,7,8,10$。 其中最大值为 $10$。

故填入答案为：10。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方差公式的变形及整数性质的应用。

核心方法：离差转化法。将数据整体平移（减去平均数），使方程简化为 $\sum y_i=0$ 和 $\sum y_i^2=n\cdot s^2$，能极大地降低凑数的难度。

避坑指南：必须严格遵守“互不相同”这一条件。很多学生凑出 $\{5,5,7,9,9\}$ 这种方差符合但数据重复的组合。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：标准差、极差。

结论推广：在均值为 $\bar{x}$，方差为 $s^2$ 的 $n$ 个整数序列中，数据越分散，最大值越大。

方法推广：解决此类整数统计问题，优先寻找平方数之和的拆分方式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-01 单-平均数
• 2013-湖北卷文-12 填-平均数与标准差
• 2014-陕西卷文-09 单-均值与方差