2014-陕西卷文-10 单-三次函数切线

本题导读

曲线过 $(0,0)$、$(2,0)$，且在这两点处的切线斜率分别为 $-1$ 与 $3$，四个条件定四个系数。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()

A. $y=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-x$　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-3x$

C. $y=\frac{1}{4}{x}^3-x$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x$

🔍【思路分析】

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设 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，由「过点」与「切线斜率」列四个方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，则 $f\acute{(}x)=3a{x}^2+2bx+c$。 由图象过原点得 $f(0)=0$，即 $d=0$； 在 $O$ 处切线为 $y=-x$，得 $f\acute{(}0)=c=-1$； 曲线过点 $(2,0)$，得 $f(2)=8a+4b+2c=0$，即 $8a+4b=2$； 在 $(2,0)$ 处切线为 $y=3x-6$，得 $f\acute{(}2)=12a+4b+c=3$，即 $12a+4b=4$。 两式相减得 $4a=2$，故 $a=\frac{1}{2}$，代回得 $b=-\frac{1}{2}$。 所以 $y=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-x$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义与三次函数解析式

2. 核心方法：把「相切」翻译成函数值与导数值两组条件

3. 避坑指南：两条直道给出四个条件：过 $(0,0)$ 且切线 $y=-x$（$f(0)=0$，$f\acute{(}0)=-1$），过 $(2,0)$ 且切线 $y=3x-6$（$f(2)=0$，$f\acute{(}2)=3$）；漏掉「切点在曲线上」这一条就定不出四个系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数的几何意义（切线斜率）与函数解析式的待定系数法。

2. 结论推广: 曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线斜率为 $f\acute{(}{x}_0)$，且切点满足 $y_0=f(x_0)$。

3. 方法推广: 「平滑连接（相切）」型题目：把每条直线的「过某点」与「斜率等于该点处导数值」都翻译成方程，再联立待定系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-10 单-导数几何意义
• 2014-浙江卷文-07 单-三次函数求参