2014-浙江卷文-07 单-三次函数求参

本题导读

由 $f(-1)=f(-2)=f(-3)$ 解出 $a=6$，$b=11$，则 $f(-1)=c-6\in (0,3]$，$c\in (6,9]$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$，且 $0<f(-1)=f(-2)=f(-3)\le 3$，则()

A. $c\le 3$　　　　　B. $3<c\le 6$　　　　　C. $6<c\le 9$　　　　　D. $c>9$

🔍【思路分析】

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由 $f(-1)=f(-2)=f(-3)$ 解出 $a=6$，$b=11$，则 $f(-1)=c-6\in (0,3]$，$c\in (6,9]$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

记 $f(-1)=f(-2)=f(-3)=t$（$0<t\le 3$）。

由 $f(-1)=f(-2)$：$-1+a-b+c=-8+4a-2b+c$，即 $3a-b=7$。

由 $f(-2)=f(-3)$：$-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c$，即 $5a-b=19$。

两式相减得 $2a=12$，$a=6$，$b=3\times 6-7=11$。

此时 $f(-1)=-1+6-11+c=c-6=t$，由 $0<t\le 3$ 得 $6<c\le 9$。选 C。

（背景观察：$f(x)-t$ 以 $-1,-2,-3$ 为三个根，故 $f(x)-t=(x+1)(x+2)(x+3)$，展开对照立得 $a=6$，$b=11$，$c=6+t$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次函数在三点等值的代数处理；由函数值范围定参数范围

2. 核心方法：等值条件列方程组；或用”零点式” $(x+1)(x+2)(x+3)$ 对照展开

3. 避坑指南：$c=6+t$ 的范围由 $t\in (0,3]$ 决定，开端 6 来自 $t>0$（等号取不到），别顺手写成闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三次函数与因式定理结合的巧题（2014 浙江理 7 同题），零点式观点是命题本意。

2. 结论推广: 一般地，若三次函数在互异三点取同一值 $t$，则 $f(x)-t$ 恰以这三点为根，“减常数现零点”是处理等值条件的关键转化。

3. 方法推广: 多个函数值相等 → 移项构造成 $f(x)-t$ 的零点问题，用因式定理写出零点式，对照系数一步到位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-17 填-仰角
• 2014-浙江卷理-22 解-函数最值