2014-陕西卷理-04 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的逻辑识别，核心在于通过模拟循环过程，观察数列各项的变化规律，从而归纳出数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$，得出数列的通项公式是()

A. $a_n=2n$　　B. $a_n=2(n-1)$　　C. $a_n=2^n$　　D. $a_n=2^{n-1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化变量：程序开始时，输入 $N$，设定 $S=1,i=1$。
2. 模拟循环：
   • 第一轮：计算 $a_i$，$S$ 更新为 $a_i$，$i$ 自增。
   • 判断条件：若 $i>N$ 成立则结束，否则继续循环。
3. 寻找规律：通过前几项 $a_1,a_2,a_3$ 的数值特征，归纳出 $a_n$ 与 $n$ 的关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

模拟程序运行过程如下：

• 第一步：$S=1,i=1$。 进入循环，计算 $a_1=2\times S=2\times 1=2^1$。 更新 $S=a_1=2$，更新 $i=i+1=2$。 此时 $i\le N$（题目给出 $N>2$），继续循环。

• 第二步：$S=2,i=2$。 进入循环，计算 $a_2=2\times S=2\times 2=2^2=4$。 更新 $S=a_2=4$，更新 $i=i+1=3$。 此时 $i$ 依然较小，继续循环。

• 第三步：$S=4,i=3$。 进入循环，计算 $a_3=2\times S=2\times 4=2^3=8$。 更新 $S=a_3=8$，更新 $i=i+1=4$。

归纳各项规律： $a_1=2^1$ $a_2=2^2$ $a_3=2^3$ $\dots$ 由此可推得该数列的通项公式为 $a_n=2^n$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：程序框图中的循环结构（直到型循环）。理解赋值语句 $S=a_i$ 的作用是保存当前项作为下一项计算的基数。

2. 核心方法：模拟运行法。对于此类求通项或结果的框图题，写出前 2-3 步的变化过程通常能直接锁定答案。

3. 避坑指南：注意指数与下标的对应关系。本题起始 $S=1$，第一项即为 $2^1$，若起始 $S=0.5$ 或循环逻辑微调，则可能指向选项 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等比数列的递推定义、计算机程序中的变量赋值。

2. 结论推广: 该框图本质上是在构造一个首项为 2，公比为 2 的等比数列。

3. 方法推广: 面对包含 $S=S+\dots$ 的框图，通常考查数列求和；包含 $a_i=f(a_{i-1})$ 的框图，通常考查数列通项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图