2015-新课标I卷理-09 单-程序框图

本题导读

本题考查带有循环结构的程序框图。通过模拟程序的运行过程，观察变量 $S,m,n$ 的递推规律，寻找满足循环终止条件时的输出结果，侧重考查逻辑推理与基本运算。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的 $n=$ ()

A. 5　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 7　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化变量：输入 $t=0.01$，初始值 $S=1,n=0,m=\frac{1}{2}$。
2. 追踪循环体：
   • 第一步更新 $S$：$S=S-m$。
   • 第二步更新 $m$ 和 $n$：$m=\frac{S}{2},n=n+1$。
3. 判断终止条件：检查 $S>t$。如果成立，继续循环；如果不成立（即 $S⩽t$），则跳出循环并输出 $n$。
4. 寻找规律：通过前几次迭代，观察 $S$ 的值是否呈现等比数列规律，从而快速定位 $S⩽0.01$ 的时刻。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

我们可以通过列表来模拟程序的运行过程：

循环轮次	$S$ 的计算 ($S-m$)	$S$ 的结果	$m$ 的结果 ($S/2$)	$n$ 的结果 ($n+1$)	判断 $S>0.01$
初始	-	1	1/2	0	-
第 1 次	$1-1/2$	$1/2$	$1/4$	1	是
第 2 次	$1/2-1/4$	$1/4$	$1/8$	2	是
第 3 次	$1/4-1/8$	$1/8$	$1/16$	3	是
第 4 次	$1/8-1/16$	$1/16$	$1/32$	4	是
第 5 次	$1/16-1/32$	$1/32\approx 0.03125$	$1/64$	5	是
第 6 次	$1/32-1/64$	$1/64\approx 0.0156$	$1/128$	6	是
第 7 次	$1/64-1/128$	$1/128\approx 0.0078$	$1/256$	7	否

当 $n=7$ 时，$S=\frac{1}{128}$。 因为 $\frac{1}{128}<\frac{1}{100}=0.01$，所以条件 $S>t$ 不成立。 此时退出循环，输出 $n=7$。

最终答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 递推逻辑：本题中 $S$ 的变化规律非常明显，$S$ 每次变为原来的一半。即 $S_n=(\frac{1}{2}{)}^n$。
2. 比较大小：解决本题的关键在于准确判定 $2^n$ 何时大于 $100$。由于 $2^6=64$，$2^7=128$，故在第 7 次循环时 $S$ 首次小于 $0.01$。
3. 易错点：注意 $n$ 的自增位置。在本题中，计算完不满足条件的 $S$ 后，$n$ 已经完成加 1 操作，因此输出的是最后一次使 $S$ 变小的 $n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于此类 $S=S-\frac{S}{2}$ 的循环，本质是指数衰减模型。若输入 $t=\frac{1}{2^k}$，则输出结果通常为 $k$。
• 方法推广:
  • 对数法估算：若 $t$ 极小，可建立不等式 $(\frac{1}{2}{)}^n⩽t⟹n⩾{\log }_{1/2}t={\log }_2\frac{1}{t}$。
• 相关知识点:

  • - **当型循环与直到型循环**：本题属于典型的“当型循环”（满足条件进入，不满足退出）。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-04 单-程序框图
• 2013年福建卷理-6
• 2019-北京卷文-04 单-程序框图