2015-上海卷文-14 填-三角函数最值

本题导读

填空压轴。表面是 $m$ 的最小值，实质是”相邻两点函数值之差的总和最大能有多大”——每段至多贡献 2，而 $[0,6\pi ]$ 内的极值点个数限制了段数。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin x$. 若存在 $x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_m$ 满足 $0⩽x_1<x_2<\cdots <x_m⩽6\pi$，且 $|f(x_1)-f(x_2)|+|f(x_2)-f(x_3)|+\cdots +|f(x_{m-1})-f(x_m)|=12$（$m⩾2$，$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），则 $m$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 每段 $|f(x_i)-f(x_{i+1})|⩽2$，要凑够 12 至少需要 6 段，即 $m⩾7$。
2. 但取到 2 的前提是两端分别在”峰”与”谷”。$[0,6\pi ]$ 内 $\sin x$ 的峰谷点只有 $\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\dots ,\frac{11\pi }{2}$ 共 6 个。
3. 数一数：$m=7$ 时最多 6 段，其中”峰谷相邻”的段至多 5 段，总和至多 $5\times 2+1=11<12$，故 $m⩾8$；再构造 8 点使总和恰为 12。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

上界：对任意 $i$，因 $|\sin x|⩽1$，有

$|f(x_i)-f(x_{i+1})|⩽2.$

故总和不超过 $2(m-1)$。要使其达到 12，需 $m-1⩾6$，即 $m⩾7$。

排除 $m=7$：总和等于 2 要求相邻两点处 $\sin$ 的值恰为 $1$ 与 $-1$。在 $[0,6\pi ]$ 上，$\sin x=\pm 1$ 的点只有

$\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\frac{9\pi }{2},\frac{11\pi }{2}$

共 6 个。$m=7$ 时共有 6 段，若每段都取到 2，则 7 个点须全为上述极值点，共需 7 个，矛盾；故至多有 5 段取到 2，其余段至多取 1，总和至多 $5\times 2+1=11<12$。所以 $m\ne 7$，即 $m⩾8$。

说明 $m=8$ 可取：取

$x_1=0,x_2=\frac{\pi }{2},x_3=\frac{3\pi }{2},x_4=\frac{5\pi }{2},x_5=\frac{7\pi }{2},x_6=\frac{9\pi }{2},x_7=\frac{11\pi }{2},x_8=6\pi ,$

它们都在 $[0,6\pi ]$ 内且严格递增。此时

$|0-1|+2+2+2+2+2+|(-1)-0|=1+10+1=12.$

符合要求。

综上，$m$ 的最小值为 $8$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦函数的图象与最值；相邻函数值之差的和（变差）的估计与构造。

2. 核心方法：“先估上界、再排除临界值、最后构造实例”，是求最小值的完整三段论。

3. 避坑指南：只算出 $m⩾7$ 就作答是最典型的错误 —— “能取到 2 的段数受极值点个数限制”这一层必须点明，而且最后必须给出 $m=8$ 的具体构造。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷填空压轴偏爱”存在性 + 最值”型问题，往往需要”必要性估计 + 充分性构造”双向论证。

2. 结论推广: 若把右端 12 改为 $2k$，则最小 $m$ 由 $[0,6\pi ]$ 内极值点个数与所需段数的匹配关系决定，可归纳出一般公式。

3. 方法推广: “上界估计 + 取等条件分析 + 实例构造”这套组合拳，可迁移到一切变差最值问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-13 填-正弦型函数