2015-上海卷文-17 单-向量旋转

本题导读

考查平面向量的旋转。“绕原点逆时针旋转 $\frac{\pi }{3}$“可用和角公式处理纵坐标，比求旋转矩阵更快。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 已知点 $A$ 的坐标为 $(4\sqrt{3},1)$，将 $\overrightarrow{OA}$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi }{3}$ 至 $\overrightarrow{OB}$，则点 $B$ 的纵坐标为 ()

A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{11}{2}$　　　　　　D. $\frac{13}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 只求纵坐标，无需完整的旋转矩阵，把 $A$ 化成极坐标形式最省事。
2. 记 $|\overrightarrow{OA}|=r$、$\angle xOA=\theta$，则 $y_B=r\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$。
3. 展开用和角公式，代 $r\sin \theta =y_A$、$r\cos \theta =x_A$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $A(4\sqrt{3},1)$ 得

$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{(4\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{48+1}=7,$

且若设 $\angle xOA=\theta$，则

$r\sin \theta =y_A=1,r\cos \theta =x_A=4\sqrt{3}.$

旋转后 $|\overrightarrow{OB}|=r=7$，其辐角为 $\theta +\frac{\pi }{3}$，故

$y_B=r\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=r\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right).$

代入 $r\sin \theta =1$，$r\cos \theta =4\sqrt{3}$：

$y_B=1\times \frac{1}{2}+4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+6=\frac{13}{2}.$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的坐标表示；向量旋转与三角恒等变换（和角公式）。

2. 核心方法：只求一个坐标时，用极坐标（$r$ 与辐角）配合和角公式，比记旋转矩阵更轻便。

3. 避坑指南：$r\sin \theta =y_A=1$、$r\cos \theta =x_A=4\sqrt{3}$，代换时别把 $r$ 与 $\sin \theta$ 拆开算错；另外”逆时针”对应 $+\frac{\pi }{3}$，方向别写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：向量旋转是上海卷的选择题常客，实质是复数乘法与三角恒等变换的几何版本。

2. 结论推广: 用复数看更直接：$z_B=z_A\cdot \left(\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}\right)$，取虚部即得 $y_B$。

3. 方法推广: “旋转 ⟺ 乘单位复数”，是把几何旋转转化为代数运算的最简通道。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-16 单-复数运算