2015-上海卷理-16 单-复数运算

本题导读

本题考查平面向量（或复数）的旋转变换。核心在于利用旋转矩阵或复数的乘法意义，计算点在绕原点旋转后的新坐标，重点考察纵坐标的提取。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 已知点 $A$ 的坐标为 $(4\sqrt{3},1)$，将 $OA$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi }{3}$ 至 $OB$，则点 $B$ 的纵坐标为 ()

A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{11}{2}$　　　　　　D. $\frac{13}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数建模法（推荐）：
   • 将点 $A(4\sqrt{3},1)$ 对应复数 $z_A=4\sqrt{3}+i$。
   • 逆时针旋转 $\theta =\frac{\pi }{3}$，相当于将复数 $z_A$ 乘以旋转因子 $e^{i\theta }=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$。
     • 计算乘积后的虚部，即为旋转后点 $B$ 的纵坐标。
2. 坐标旋转公式法：
   • 利用旋转变换公式： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$
     • 代入 $x=4\sqrt{3},y=1,\theta =\frac{\pi }{3}$ 计算 $y^{\prime }$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解法一：复数法 设点 $A$ 对应的复数为 $z_A=4\sqrt{3}+i$。 逆时针旋转 $\frac{\pi }{3}$ 后的复数为 $z_B$： $z_B=z_A\cdot \left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ $z_B=(4\sqrt{3}+i)\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ 展开计算： $z_B=\frac{4\sqrt{3}}{2}+\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}i+\frac{1}{2}i+\frac{\sqrt{3}}{2}{i}^2$ $z_B=2\sqrt{3}+6i+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $z_B=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{13}{2}i$ 点 $B$ 的纵坐标即为复数 $z_B$ 的虚部，为 $\frac{13}{2}$。

解法二：旋转公式法 根据坐标旋转公式，点 $B$ 的纵坐标 $y_B$ 为： $y_B=x_A\sin \frac{\pi }{3}+y_A\cos \frac{\pi }{3}$ 代入数值： $y_B=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot \frac{1}{2}$ $y_B=2\cdot 3+\frac{1}{2}$ $y_B=6+\frac{1}{2}=\frac{13}{2}$

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：旋转变换的代数实现；复数乘法的几何意义（模相乘，角相加）。
• 核心方法：旋转公式法。这是解析几何中最直接的方法。复数法则在处理旋转问题时更具统一性。
• 避坑指南：分清顺时针和逆时针。逆时针旋转 $\theta$ 为正，顺时针为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若点 $(x,y)$ 绕原点旋转 $\theta$ 后的新坐标 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 满足矩阵关系： $\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

• 相关知识点：极坐标变换、矩阵乘法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2023-上海卷-16 单-椭圆双曲线综合
• 2022-高考上海卷-16
• 2018-上海卷-16 单-函数概念