2015-上海卷文-18 单-直线与圆

本题导读

选择压轴。先看清 $n\to \infty$ 时直线趋于定直线，交点的极限位置是 $(1,1)$；再对”动点偏离极限点”作一阶近似，比直接解出 $x_n,y_n$ 快得多。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 设 $P_n(x_n,y_n)$ 是直线 $2x-y=\frac{n}{n+1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）与圆 $x^2+y^2=2$ 在第一象限的交点，则极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n-1}{x_n-1}=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为 $\frac{n}{n+1}\to 1$，极限位置是直线 $2x-y=1$ 与圆的交点 $(1,1)$。
2. 令 $u=x_n-1$，$v=y_n-1$，把两个条件都改写成关于 $u,v$ 的式子。
3. 舍去高阶小量解出 $\frac{v}{u}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由圆方程，令 $x_n=1+u$，$y_n=1+v$，则

(1+u)^2+(1+v)^2=2\ \Longrightarrow\ 2(u+v)+u^2+v^2=0.\tag{1}

由直线方程，记 $\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$，则

2(1+u)-(1+v)=1-\frac{1}{n+1}\ \Longrightarrow\ v=2u+\frac{1}{n+1}.\tag{2}

因为 $n\to \infty$ 时交点趋于 $(1,1)$，有 $u\to 0$，故 $(1)$ 中的 $u^2+v^2$ 是比 $u,v$ 更高阶的无穷小。将 $(2)$ 代入 $(1)$ 并只保留一阶项：

$2\left(u+v\right)\approx 0⟹u+v\approx 0⟹\frac{v}{u}\approx -1.$

故所求极限为 $-1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系；数列极限与”极限点邻域的一阶近似”。

2. 核心方法：“先定位极限点，再作一阶近似”：把动点写成”极限点 + 小量”，用线性主部求比值极限。

3. 避坑指南：直接硬解 $x_n,y_n$ 会陷入二次方程的繁琐运算；另外 $\frac{n}{n+1}$ 要写成 $1-\frac{1}{n+1}$ 才能看出”偏离量”的量级。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷在数列极限处偏爱”几何背景 + 极限”的混合题，考查对”无穷小阶”的直觉。

2. 结论推广: 结论可推广：若直线为 $2x-y=1-\frac{\lambda }{n+1}$，则极限仍为 $-1$，与 $\lambda$ 无关 —— 比值极限只由圆在 $(1,1)$ 处的切向决定。

3. 方法推广: “极限点 + 一阶近似”是处理”动点比值极限”的通法，可绕过复杂方程的求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

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