2015-上海卷理-18 单-直线与圆

本题导读

本题是解析几何与极限的综合压轴选择题。核心考点在于通过极限过程确定交点的趋势，并将所求的割线斜率极限转化为圆在该趋势点处的切线斜率。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 设 $P_n(x_n,y_n)$ 是直线 $2x-y=\frac{n}{n+1}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 在第一象限的交点，则极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{y_n-1}{x_n-1}=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析极限趋势：
   • 当 $n\to \infty$ 时，$\frac{n}{n+1}\to 1$。
   • 此时直线趋近于 $2x-y=1$，圆方程为 $x^2+y^2=2$。
   • 联立 $2x-y=1$ 与 $x^2+y^2=2$，解得第一象限交点为 $P_0(1,1)$。
   • 这意味着当 $n\to \infty$ 时，$P_n(x_n,y_n)\to (1,1)$。
2. 理解极限的几何意义：
   • 所求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{y_n-1}{x_n-1}$ 实际上是动点 $P_n$ 与定点 $P_0(1,1)$ 连线的斜率极限。
   • 因为 $P_n$ 和 $P_0$ 都在圆 $x^2+y^2=2$ 上，这个割线斜率的极限等价于圆在点 $(1,1)$ 处的切线斜率 $k$。
3. 计算切线斜率：
   • 方法一：对圆方程 $x^2+y^2=2$ 进行隐函数求导 $2x+2y{y}^{\prime }=0$。
   • 方法二：利用几何性质，圆心与切点连线的斜率 $k_{OP}=\frac{1}{1}=1$，则切线斜率 $k=-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定交点的极限位置 当 $n\to \infty$ 时，直线方程趋向于 $2x-y=1$。 联立圆方程： $\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ x^2+y^2=2\end{array}⟹x^2+(2x-1{)}^2=2$ 整理得：$5x^2-4x-1=0⟹(5x+1)(x-1)=0$。 在第一象限，取 $x=1$，则 $y=2(1)-1=1$。 所以，${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=1,{\lim }_{n\to \infty }{y}_n=1$。

第二步：转化极限为导数 所求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{y_n-1}{x_n-1}$ 是圆上两点 $(x_n,y_n)$ 与 $(1,1)$ 连线斜率的极限。 根据导数的定义，该极限等于圆 $x^2+y^2=2$ 在点 $(1,1)$ 处的导数值 $y^{\prime }{|}_{(1,1)}$。

第三步：求导计算斜率 对 $x^2+y^2=2$ 两边关于 $x$ 求导得： $2x+2y\cdot y^{\prime }=0⟹y^{\prime }=-\frac{x}{y}$ 将点 $(1,1)$ 代入得： $k=-\frac{1}{1}=-1$ 所以 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{y_n-1}{x_n-1}=-1$。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数的几何意义——切线是割线的极限位置；隐函数求导法。
• 核心方法：数形结合法。将抽象的极限式识别为几何图形的斜率变化，是快速破解上海卷压轴题的关键。
• 避坑指南：不要试图解出 $x_n,y_n$ 的关于 $n$ 的复杂表达式再求极限，那样计算量巨大且容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若点 $P$ 在曲线 $f(x,y)=0$ 上趋近于定点 $P_0(x_0,y_0)$，则 $\frac{y-y_0}{x-x_0}$ 的极限即为该曲线在 $P_0$ 处的切线斜率。

• 相关知识点：洛必达法则、圆的切线方程性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 23.07 几何分布

类题演练(Links)

• 2024-上海卷-18 解-对数与数列综合
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