2015-上海卷文-22 解-椭圆综合

本题导读

解析几何综合题，“面积定值”是核心。第（1）问用点到直线距离推出面积的行列式公式；第（2）问代入定值求斜率；第（3）问把”面积与直线无关”翻译成恒等式，用比较系数法定参 —— 这是处理定值问题的标准手段。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别与椭圆交于点 $A$，$B$ 和 $C$，$D$. 记 $△AOC$ 的面积为 $S$.

(1) 设 $A(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$. 用 $A$，$C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离，并证明 $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$；

(2) 设 $l_1:y=kx$，$C\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$，$S=\frac{1}{3}$. 求 $k$ 的值.

(3) 设 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $m$，求 $m$ 的值，使得无论 $l_1$ 与 $l_2$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：直线 $l_1$ 过原点与 $A$，用两点式写方程，再用点到直线距离公式，最后 $S=\frac{1}{2}\cdot |OA|\cdot d$ 化简。
2. 第（2）问：把 $A$ 的坐标用 $k$ 表示（代入椭圆），代入第（1）问的面积公式，解关于 $k$ 的方程。
3. 第（3）问：设 $l_1$ 斜率为 $k$、$l_2$ 斜率为 $\frac{m}{k}$，写出 $S^2$ 关于 $u=k^2$ 的表达式；“与 $u$ 无关”意味着分式可化为常数，用比较系数法定 $m$。

✅【答案】

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(1) $d=\frac{|x_1{y}_2-x_2{y}_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$，且 $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$

(2) $k=-1$ 或 $k=-\frac{1}{5}$

(3) $m=-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 直线 $l_1$ 经过 $O(0,0)$ 与 $A(x_1,y_1)$，其方程可写为

$y_{1}x-x_{1}y=0.$

故点 $C(x_2,y_2)$ 到 $l_1$ 的距离为

$d=\frac{|y_1{x}_2-x_1{y}_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}=\frac{|x_1{y}_2-x_2{y}_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}.$

又 $|OA|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$，于是

$S=\frac{1}{2}|OA|\cdot d=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|.$

（2） 因为 $A\in l_1$ 且 $l_1:y=kx$，所以 $y_1=k{x}_1$。代入椭圆方程 $x^2+2y^2=1$ 得

$x_1^2(1+2k^2)=1⟹|x_1|=\frac{1}{\sqrt{1+2k^2}}.$

由 $C\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 与第（1）问的面积公式：

$S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}\left|\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_1-\frac{\sqrt{3}}{3}k{x}_1\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}|x_1(1-k)|.$

代入 $S=\frac{1}{3}$ 与 $|x_1|=\frac{1}{\sqrt{1+2k^2}}$：

$\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{|1-k|}{\sqrt{1+2k^2}}⟹\frac{|1-k|}{\sqrt{1+2k^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$

两边平方化简：

$3(1-k{)}^2=4(1+2k^2)⟹3(1-2k+k^2)=4+8k^2⟹5k^2+6k+1=0.$

解得 $k=-1$ 或 $k=-\frac{1}{5}$，均满足前提。

（3） 设 $l_1$ 的斜率为 $k$，则 $l_2$ 的斜率为 $\frac{m}{k}$（$k\ne 0$，$m\ne 0$）。对两条过原点的直线与椭圆的交点坐标分别求解，取绝对值后有

$S^2=\frac{{\left(\frac{m}{k}-k\right)}^2}{4(1+2k^2)\left(1+2{\left(\frac{m}{k}\right)}^2\right)}=\frac{(m-k^2{)}^2}{4(1+2k^2)(k^2+2m^2)}.$

令 $u=k^2>0$。若 $m=0$，则 $S^2=\frac{u}{4(1+2u)}$ 随 $u$ 变化，不能保持为常数，不合题意。

当 $m\ne 0$ 时，若 $S$ 与 $u$ 无关，则存在常数 $c$，使

$u^2-2mu+m^2=c\left(2u^2+(1+4m^2)u+2m^2\right)$

对一切 $u>0$ 成立。比较二次项与常数项系数，得 $c=\frac{1}{2}$；再比较一次项系数：

$-2m=\frac{1+4m^2}{2}⟹4m^2+4m+1=0⟹(2m+1{)}^2=0,$

所以 $m=-\frac{1}{2}$。

反之，当 $m=-\frac{1}{2}$ 时，

$S^2=\frac{{\left(u+\frac{1}{2}\right)}^2}{4(1+2u)\left(u+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{8},$

与 $u$ 无关，符合要求。

综上，所求 $m=-\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程；点到直线的距离；三角形面积的行列式（坐标）表示；定值问题与恒等式比较系数。

2. 核心方法：“坐标表示 → 化为单参数表达式 → 恒成立则比较系数”，这是定值问题的通用三步。

3. 避坑指南：第（2）问平方前要保留绝对值再平方，两边平方后必须回代验证是否引入增根；第（3）问的转化必须说清”取绝对值”，并且求出 $m$ 后要验证充分性（本题用”反之”一段完成）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“面积定值”是解析几何压轴的经典母题，上海卷多次以”两直线斜率之积为定值”的形式呈现。

2. 结论推广: 把椭圆换成双曲线或抛物线，问”面积是否仍存在定值”；把面积 $S$ 换成 $|OA|\cdot |OC|$ 或 $\angle AOC$ 的余弦，结论形态会随之变化 —— 都可用同一套”化单参 + 比较系数”处理。

3. 方法推广: “设参数 → 表出目标量 → 令与参数无关 → 比较系数”，可迁移到一切”定值 / 定点 / 恒成立”型解析几何问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-21 解-椭圆性质