2017-全国卷I理-20 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质。核心在于坐标代入法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 已知椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)，四点 $P_1(1,1),P_2(0,1),P_3(-1,\frac{\sqrt{3}}{2}),P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

(1)求 $C$ 的方程；

(2)设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点.若直线 $P_{2}A$ 与 $直线P_{2}B$ 的斜率的和为 $-1$，证明：$l$ 过定点.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（方程求解）：

• 对称性判断：$P_3$ 和 $P_4$ 关于 $y$ 轴对称，若其中一个在椭圆上，另一个必在椭圆上，故 $P_3,P_4$ 占据了两个名额。
• 排除法：比较 $P_1$ 和 $P_4$。$P_1$ 与 $P_4$ 横坐标相同，但 $P_1$ 的纵坐标 $1>\frac{\sqrt{3}}{2}$。在第一象限，横坐标相同，纵坐标越大越靠外，故 $P_1$ 在椭圆外。由此确定 $P_2,P_3,P_4$ 在椭圆上。
• 代入求解：将 $P_2(0,1)$ 代入直接得 $b^2=1$，再代入 $P_4$ 求 $a^2$。

2. 第二问（定点证明）：

• 特殊情况排除：先考虑 $l$ 垂直于 $x$ 轴的情况，计算发现不满足斜率和为 $-1$。
• 设线联立：设 $l:y=kx+m$ ($m\ne 1$)，联立椭圆方程，得到关于 $x$ 的一元二次方程。
• 转化条件：利用 $k_1+k_2=-1$，将斜率公式 $\frac{y_i-1}{x_i}$ 转化为仅含 $x_1,x_2$ 的表达式，代入韦达定理。
• 寻找关系：求出 $k$ 与 $m$ 的线性关系，从而写出直线方程并观察定点。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(2) $l$ 恒过定点 $(2,-1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由于椭圆 $C$ 关于 $y$ 轴对称，而 $P_3(-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 与 $P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 关于 $y$ 轴对称， 故 $P_3,P_4$ 同时在椭圆上。 又 $P_1(1,1)$ 与 $P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 相比，$P_1$ 纵坐标更大，若 $P_1$ 在椭圆上，则 $P_4$ 必在椭圆内，与“恰有三点在椭圆上”矛盾，故 $P_1$ 不在椭圆上。 由此可知 $P_2,P_3,P_4$ 在椭圆上。 将 $P_2(0,1)$ 代入得 $\frac{0}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，即 $b^2=1$。 将 $P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 代入得 $\frac{1}{a^2}+\frac{3/4}{1}=1$，解得 $a^2=4$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

(2)证明： 由题意 $P_2(0,1)$。设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。 若直线 $l$ 的斜率不存在，设 $l:x=t$ ($t\ne 0,|t|<2$)。 则 $A(t,y_1),B(t,-y_1)$，此时 $k_1+k_2=\frac{y_1-1}{t}+\frac{-y_1-1}{t}=-\frac{2}{t}=-1$，得 $t=2$。 但此时直线 $x=2$ 仅与椭圆有一个交点（切线），不符合相交于两点的要求，故 $l$ 的斜率必存在。

设 $l:y=kx+m$ ($m\ne 1$)。联立方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ x^2+4y^2=4\end{array}\Rightarrow (1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0$。 由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{-8km}{1+4k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}$。 由 $k_1+k_2=-1$ 得： $\frac{y_1-1}{x_1}+\frac{y_2-1}{x_2}=-1\Rightarrow \frac{k{x}_1+m-1}{x_1}+\frac{k{x}_2+m-1}{x_2}=-1$ $2k+\frac{(m-1)(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}=-1$ 代入韦达定理： $2k+\frac{(m-1)\cdot (-8km)}{4(m^2-1)}=-1$ $2k+\frac{-8km(m-1)}{4(m-1)(m+1)}=-1\Rightarrow 2k-\frac{2km}{m+1}=-1$ $\frac{2k(m+1)-2km}{m+1}=-1\Rightarrow \frac{2k}{m+1}=-1$ 得 $2k=-m-1$，即 $m=-2k-1$。 直线 $l$ 的方程为 $y=kx-2k-1$，即 $y+1=k(x-2)$。 故直线 $l$ 恒过定点 $(2,-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 斜率和公式的应用：在处理涉及 $k_1+k_2$ 的题目时，将 $y$ 用 $kx+m$ 替换是消除变量的标准套路。
• 因式分解简化计算：在代入韦达定理后，分子分母出现了 $(m-1)$，及时约去（前提 $m\ne 1$）能极大简化后续化简难度。
• 结论验证：最后得到的定点 $(2,-1)$ 应当在椭圆上或外，经检验该点在椭圆上（刚好是右顶点下方对称位置），符合解析几何的美感。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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• 2015-山东卷文-21 解-椭圆综合
• 2020-北京卷-20 解-椭圆综合