2015-上海卷理-01 填-集合补集

本题导读

本题考查集合的综合运算。需要先求出连续型集合 B 的补集，再将其与离散型集合 A 取交集。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 设全集 $U=\mathbb{R}$.若集合 $A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{x|2\le x\le 3\}$，则 $A\cap {\complement }_{U}B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求补集 ${\complement }_{U}B$：根据全集为实数集 $\mathbb{R}$，集合 $B$ 是闭区间 $[2,3]$，其补集是该区间之外的所有实数。
2. 求交集：观察集合 $A$ 中的离散元素 $\{1,2,3,4\}$，哪些落在了补集 ${\complement }_{U}B$ 的范围内。落在范围内的元素即为交集的元素。

✅【答案】

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$\{1,4\}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算补集 ${\complement }_{U}B$ 已知 $U=\mathbb{R},B=\{x|2\le x\le 3\}$。 则集合 $B$ 在实数集中的补集为： ${\complement }_{U}B=\{x|x<2\text{ 或 }x>3\}$

第二步：求 $A\cap {\complement }_{U}B$ 已知 $A=\{1,2,3,4\}$。

• 对于元素 $1$：满足 $1<2$，属于补集。
• 对于元素 $2$：不满足 $x<2$ 或 $x>3$，不属于补集。
• 对于元素 $3$：不满足 $x<2$ 或 $x>3$，不属于补集。
• 对于元素 $4$：满足 $4>3$，属于补集。 因此，$A\cap {\complement }_{U}B=\{1,4\}$。

答案：$\{1,4\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：补集与交集的混合运算；离散集合与连续集合的交集处理。
• 核心方法：定义法。直接根据不等式范围筛选离散点。
• 避坑指南：注意补集端点的开闭。原集合 $B$ 包含端点 $2$ 和 $3$（闭区间），则补集 ${\complement }_{U}B$ 不包含这两个端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若求 $A\cap B$，则结果为 $\{2,3\}$。 *方法推广: 遇到复杂的集合运算，推荐先在数轴上标出连续集合的范围，再点出离散集合的点，位置关系一目了然。

• 相关知识点：并集运算、空集的性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练(Links)

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