2023-上海卷-13 单-集合运算

本题导读

本题考查相对补集），以及元素与集合的关系。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知 $P=\{1,2\}$，$Q=\{2,3\}$，若 $M=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}$，则 $M=$（ ）

A. $\{1\}$　　　　　　B. $\{2\}$　　　　　　C. $\{3\}$　　　　　　D. $\{1,2,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解读集合定义：集合 $M$ 采用描述法表示，其中的元素 $x$ 必须同时满足两个条件：既属于集合 $P$ （$x\in P$），又不属于集合 $Q$ （$x\notin Q$）。
2. 限定候选范围：因为要求 $x\in P$，故满足条件的元素只能从 $P=\{1,2\}$ 中产生，候选元素仅有 1 和 2。
3. 逐一验证剔除：

• 验证元素 1：$1\in P$ 且 $1\notin Q$，符合条件，属于集合 $M$；
• 验证元素 2：$2\in P$ 但 $2\in Q$，不满足“$x\notin Q$”的条件，应当剔除。

4. 得出最终结论：综合上述分析即可确定 $M$ 的元素构成，对照选项做出选择。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

已知集合 $P=\{1,2\}$，集合 $Q=\{2,3\}$。 根据集合 $M=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}$ 的定义，需要从集合 $P$ 中挑选出不属于集合 $Q$ 的元素：

• 对于元素 1：显然 $1\in P$。检查集合 $Q$，由于 $Q$ 中不包含元素 1，所以 $1\notin Q$ 成立。因此元素 1 满足 $M$ 的定义要求，即 $1\in M$。
• 对于元素 2：显然 $2\in P$。检查集合 $Q$，由于 $Q$ 中包含元素 2，所以 $2\in Q$，这与条件“$x\notin Q$”相矛盾。因此元素 2 不满足 $M$ 的定义要求，即 $2\notin M$。

综上所述，符合条件的元素仅有 1，故集合 $M=\{1\}$。

观察选项： A. $\{1\}$ （符合题意）　　　　　　　　B. $\{2\}$　　　　　　　　C. $\{3\}$　　　　　　　　D. $\{1,2,3\}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合描述法中条件约束的理解、逻辑联结词“且”的同时包容性、元素与集合关系的判定。
2. 核心方法：定义解析法、元素枚举验证法。
3. 避坑指南：

• 混淆常规运算：部分学生如果在考场上审题不仔细，容易凭借思维定势将新定义的条件直接当成“交集”或“并集”来运算。若误求交集 $P\cap Q$ 会错选 B，误求并集 $P\cup Q$ 会错选 D。
• 符号看错：极其微小的粗心可能导致将 “$\notin$”（不属于）看成 “$\in$”（属于），从而得出错误答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷单项选择题的第一题，属于考查高中数学开篇核心概念的常规送分题，注重考查学生对数学语言基础阅读理解的准确性。

2. 结论推广：本题中集合 $M$ 的定义 $M=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}$ 在集合论中被称为 相对补集（或 差集），通常记作 $P\setminus Q$ 或 $P-Q$，其几何背景可通过 Venn 图清晰表示（即在集合 $P$ 的圆圈中挖去与 $Q$ 相交的部分）。

在高考的横向多维考查中，差集经常与全集补集、交集进行等价转换。其通用恒等式为： $P\setminus Q=P\cap ({\complement }_{U}Q)$ 若利用此推广结论解决本题：在全集 $U=\mathbb{R}$ 下，${\complement }_{U}Q=\{x\mid x\ne 2\text{ 且 }x\ne 3\}$。 则 $M=P\cap ({\complement }_{U}Q)=\{1,2\}\cap \{x\mid x\ne 2\text{ 且 }x\ne 3\}=\{1\}$。通过概念的扩展转换，能够加深对集合基本代数结构的理解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-01 单-集合补集
• 2014-辽宁卷理-01 单-集合并集
• 2014-重庆卷理-11 填-集合补集