2015-北京卷理-03 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的逻辑执行过程。重点在于理解循环结构的判定条件以及变量在每次迭代中的更新顺序，通过人工模拟程序运行轨迹得出输出结果。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 执行如图所示的程序框图，输出的结果为 ()

A. $(-2,2)$　　　B. $(-4,0)$　　　C. $(-4,-4)$　　　D. $(0,-8)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：记录初始变量值 $x=1,y=1,k=0$。
2. 进入循环：按框图顺序依次执行 $s=x-y$，$t=x+y$，然后更新 $x=s$，$y=t$。
3. 计数与判定：每次循环后 $k=k+1$，检查是否满足 $k⩾3$。
   • 若不满足，返回执行循环体。
   • 若满足，退出循环输出当前 $(x,y)$。
4. 人工模拟：利用列表法记录每一步的变化，防止逻辑混乱。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：初始状态 $x=1,y=1,k=0$

第二步：第一次循环

• $s=x-y=1-1=0$
• $t=x+y=1+1=2$
• 更新赋值：$x=0,y=2$
• 计数：$k=0+1=1$
• 判定：$1⩾3$ 为“否”，继续循环。

第三步：第二次循环

• $s=x-y=0-2=-2$
• $t=x+y=0+2=2$
• 更新赋值：$x=-2,y=2$
• 计数：$k=1+1=2$
• 判定：$2⩾3$ 为“否”，继续循环。

第四步：第三次循环

• $s=x-y=-2-2=-4$
• $t=x+y=-2+2=0$
• 更新赋值：$x=-4,y=0$
• 计数：$k=2+1=3$
• 判定：$3⩾3$ 为“是”，退出循环。

第五步：输出结果 输出 $(x,y)=(-4,0)$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 列表法：处理程序框图最稳妥的方法是建立一个追踪表（Trace Table），记录每一轮 $x,y,k$ 的值，避免心算错误。
2. 变量更新顺序：注意框图中使用了中间变量 $s,t$。这意味着在更新 $x$ 的时候，$y$ 还是旧值；这种设计常用于交换变量或同步更新。
3. 判定节点：分清是“满足条件退出”还是“不满足条件退出”，本题 $k⩾3$ 为“是”时才输出。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：观察 $x$ 和 $y$ 的变化规律。若我们将 $(x,y)$ 看作复数 $z=x+iy$，则每次变换相当于 $z^{\prime }=(x-y)+i(x+y)=x(1+i)+y(-1+i)=z(1+i)$。
• 高阶思考：本题循环 3 次，相当于初始复数 $1+i$ 乘以 $(1+i{)}^3$。 $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$，所以 $(1+i{)}^4$ 对应复数 $-4+0i$，即点 $(-4,0)$。这从侧面验证了计算的准确性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

B

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