2015-北京卷理-07 单-对数函数

本题导读

本题考查利用数形结合的思想解对数不等式。通过在同一坐标系内作出对数函数 $y={\log }_2(x+1)$ 的图象，并与已知的折线函数 $f(x)$ 进行位置比对，寻找 $f(x)$ 图象在对数函数图象上方（或重合）的自变量 $x$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $ACB$，则不等式 $f(x)⩾{\log }_2(x+1)$ 的解集

是 ()

A. $\{x|-1<x⩽0\}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|-1⩽x⩽1\}$

C. $\{x|-1<x⩽1\}$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x|-1<x⩽2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知函数 $f(x)$：
   • 观察图象，$f(x)$ 由两条线段 $AC$ 和 $CB$ 组成。
   • 关键点坐标：$A(-1,0)$，$C(0,2)$，$B(2,0)$。
2. 作出对数函数图象：
   • 考虑函数 $g(x)={\log }_2(x+1)$。
   • 确定其关键特征：定义域为 $x>-1$，渐近线为 $x=-1$。
   • 寻找特殊点：
     • 当 $x=0$ 时，$g(0)={\log }_2(1)=0$。
     • 当 $x=1$ 时，$g(1)={\log }_2(2)=1$。
     • 当 $x=3$ 时，$g(3)={\log }_2(4)=2$。
3. 数形结合对比：
   • 在同一坐标系下，观察 $f(x)$ 的图象何时在 $g(x)$ 的上方。
   • 特别注意交点的位置。例如，在 $x=1$ 处，$f(1)$ 的值（线段 $CB$ 的中点）与 $g(1)$ 的大小关系。
4. 得出结论：根据图象重叠与分支情况确定解集区间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求折线 $CB$ 上的函数值 点 $C(0,2)$，$B(2,0)$。 直线 $CB$ 的斜率 $k=\frac{0-2}{2-0}=-1$。 直线 $CB$ 的方程为 $y-0=-1(x-2)$，即 $f(x)=-x+2$（当 $0⩽x⩽2$ 时）。

第二步：分析对数函数 $g(x)={\log }_2(x+1)$ 的关键点

• 当 $x=0$ 时，$g(0)=0$。此时 $f(0)=2$，明显 $f(0)>g(0)$。
• 当 $x=1$ 时，$g(1)={\log }_2(2)=1$。 此时代入折线方程 $f(1)=-1+2=1$。 由此可知，$x=1$ 是两函数图象的一个交点。
• 当 $x=3$ 时（超出 $B$ 点范围），$g(3)=2$。而在 $x>1$ 后，$f(x)$ 继续下降而 $g(x)$ 继续上升。

第三步：数形结合判断范围

• 在区间 $(-1,0]$：对数函数图象从 $-\infty$ 上升到 $0$，$f(x)$ 从 $0$ 上升到 $2$，始终有 $f(x)⩾g(x)$。

• 在区间 $[0,1]$：$f(x)$ 从 $2$ 下降到 $1$，$g(x)$ 从 $0$ 上升到 $1$。在此区间内，$f(x)$ 依然在 $g(x)$ 的上方。

• 在区间 $(1,2]$：$f(x)$ 从 $1$ 下降到 $0$，$g(x)$ 从 $1$ 上升到 ${\log }_{2}3$。此时 $f(x)<g(x)$，不符合要求。

第四步：确定解集 结合定义域限制 $x>-1$ 以及图象分析，$f(x)⩾{\log }_2(x+1)$ 的 $x$ 范围是 $(-1,1]$。

故选：C。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数形结合是灵魂：涉及不同性质函数（如多项式与对数）的比较，作图并寻找关键交点是最有效的方法。
2. 交点精度：本题的关键在于计算出 $x=1$ 时两函数值相等，这决定了区间的右边界。
3. 避坑指南：注意对数函数的定义域 $x+1>0$，即 $x>-1$。选项 B 虽然包含了主要区间，但左侧闭区间 $-1$ 处对数函数无定义，应排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若无法精准绘图，可以分段解不等式。
  • 当 $-1<x⩽0$ 时，解 $2(x+1)⩾{\log }_2(x+1)$。
  • 当 $0<x⩽2$ 时，解 $-x+2⩾{\log }_2(x+1)$。
• 变式思考：若要求 $f(x)<{\log }_2(x+1)$ 的解集，结果是什么？ (提示：根据上述分析，应为 $x\in (1,2]$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2022-高考北京卷-7
• 2021-北京卷-07 单-函数奇偶性
• 2025-北京卷-04 单-指数函数伸缩变换