2021-北京卷-07 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查奇偶性，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）函数 $f(x)=\cos x-\cos 2x$，试判断函数的奇偶性及最大值（）

A. 奇函数，最大值为 $2$　　　　　　　　B. 偶函数，最大值为 $2$

C. 奇函数，最大值为 $\frac{9}{8}$　　　　　　　　D. 偶函数，最大值为 $\frac{9}{8}$

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题包含两个核心设问：一是判断复合三角函数的奇偶性；二是求该三角函数的最大值。

已知条件转化与求解策略：

1. 判断奇偶性：利用定义法，计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。结合余弦函数自身的偶函数性质 $\cos (-\theta )=\cos \theta$ 即可得出结论。

2. 求最大值：观察解析式发现包含 $\cos x$ 和 $\cos 2x$，利用余弦的二倍角公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ 将其化为关于 $\cos x$ 的二次函数。通过换元法（令 $t=\cos x$）和配方法求出开口向下二次函数的顶点，并务必验证顶点是否在 $\cos x$ 的值域 $[-1,1]$ 内，从而确定最大值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用定义法判断奇偶性

函数的定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。

计算 $f(-x)$：

$f(-x)=\cos (-x)-\cos (-2x)$

因为余弦函数 $y=\cos x$ 是偶函数，满足 $\cos (-\theta )=\cos \theta$，

所以 $\cos (-x)=\cos x$，$\cos (-2x)=\cos 2x$。

因此，$f(-x)=\cos x-\cos 2x=f(x)$。

根据偶函数的定义，函数 $f(x)$ 为偶函数。

（由此可排除选项 A、C）

第二步：利用二倍角公式化一

解析式 $f(x)=\cos x-\cos 2x$。

利用余弦的二倍角降幂公式：$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，代入原函数得：

$f(x)=\cos x-(2{\cos }^{2}x-1)$

$f(x)=-2{\cos }^{2}x+\cos x+1$

第三步：换元法与配方法求最值

令 $t=\cos x$，因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。

原函数转化为关于 $t$ 的二次函数：

$y=-2t^2+t+1(t\in [-1,1])$

对其进行配方：

$y=-2(t^2-\frac{1}{2}t)+1$

$y=-2(t-\frac{1}{4}{)}^2+2\times \frac{1}{16}+1$

$y=-2(t-\frac{1}{4}{)}^2+\frac{1}{8}+1$

$y=-2(t-\frac{1}{4}{)}^2+\frac{9}{8}$

第四步：验证定义域并得出结论

该二次函数开口向下，对称轴为 $t=\frac{1}{4}$。

因为 $t=\frac{1}{4}\in [-1,1]$，所以当 $t=\frac{1}{4}$（即 $\cos x=\frac{1}{4}$）时，函数取得最大值：

$y_{\max }=\frac{9}{8}$。

结论：函数 $f(x)$ 为偶函数，且最大值为 $\frac{9}{8}$，对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 奇偶性定义：判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 关系时，熟练运用 $\sin (-x)=-\sin x$, $\cos (-x)=\cos x$。

2. 二倍角公式的选择：$\cos 2x$ 有三种形式（${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$，$2{\cos }^{2}x-1$，$1-2{\sin }^{2}x$），在此题中为了与前面的 $\cos x$ 统一，必须选择 $2{\cos }^{2}x-1$ 进行“化同名”。

   易错点提醒（重要）：在使用换元法将三角函数转化为代数多项式时，必须要标明新变量的取值范围（此题中 $t=\cos x\in [-1,1]$）。如果求出的对称轴不在该区间内，则最大/小值要在区间端点处取得，切忌盲目直接取顶点值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2014-江苏卷-19 解-函数奇偶性