2015-北京卷理-10 填-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的基础几何性质。通过双曲线的标准方程推导其渐近线方程，并与已知直线方程进行比对，从而确定参数 $a$ 的值。这是圆锥曲线模块中最基础的常考题型。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3}x+y=0$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出标准渐近线方程：对于焦点在 $x$ 轴的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. 确定参数 $b$：观察已知方程 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$，可知 $b^2=1⟹b=1$。
3. 转化已知直线：将已知渐近线 $\sqrt{3}x+y=0$ 化为斜截式 $y=-\sqrt{3}x$，识别其斜率绝对值。
4. 建立等式求解：利用斜率关系 $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，代入 $b=1$ 即可求得 $a$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析双曲线方程 已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$。 这表示一个中心在原点，焦点在 $x$ 轴的双曲线。 其中 $b^2=1$，即 $b=1$。

第二步：求双曲线的渐近线表达式 根据公式，该双曲线的渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{a}x$

第三步：比对已知渐近线 题目给出的一条渐近线方程为 $\sqrt{3}x+y=0$，变形得： $y=-\sqrt{3}x$ 由此可知，渐近线的斜率绝对值为 $\sqrt{3}$。

第四步：求解参数 $a$ 建立方程：$\frac{1}{a}=\sqrt{3}$ 解得：$a=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：
   • $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹$ 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
   • $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1⟹$ 渐近线 $y=\pm \frac{a}{b}x$。
   • 记忆窍门：令方程右边的 $1$ 变为 $0$，直接解出 $y$ 与 $x$ 的关系即为渐近线。
2. 易错点纠正：注意不要把 $a$ 和 $b$ 的位置弄反。渐近线的斜率总是对应“$y$ 项分母的根”比上“$x$ 项分母的根”。
3. 避坑指南：确认双曲线的焦点轴。本题项 $x^2$ 前为正，焦点在 $x$ 轴，渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若已知双曲线的渐近线方程为 $Ax\pm By=0$，则该双曲线方程可设为 $A^2{x}^2-B^2{y}^2=\lambda (\lambda \ne 0)$。
• 变式思考：若本题改为“双曲线的离心率为 2”，求 $a$ 的值？ (提示：由 $e=\frac{c}{a}=2$ 且 $c^2=a^2+1$ 可得 $\frac{a^2+1}{a^2}=4$，解出 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$。可见离心率与渐近线斜率之间有紧密的代数联系：$e^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。)

🔗【关联脉络】

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$\surd 33$

类题演练(Links)

• 2015-北京卷文-10 填-比较大小
• 2025-北京卷-03 单-双曲线离心率
• 2025-北京卷-11 填-抛物线的几何性质