2015-北京卷理-11 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标系下点到直线的距离计算。最稳健的策略是将极坐标下的点和直线方程统一转化到直角坐标系中，随后利用点到直线的距离公式求解。这要求学生熟练掌握 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 的转化关系。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 在极坐标系中，点 $(2,\frac{\pi }{3})$ 到直线 $\rho (\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta )=6$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化点坐标：利用公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，将极坐标点 $(2,\frac{\pi }{3})$ 转化为直角坐标点 $P(x_0,y_0)$。
2. 转化直线方程：将极坐标方程 $\rho \cos \theta +\sqrt{3}\rho \sin \theta =6$ 中的 $\rho \cos \theta$ 替换为 $x$，$\rho \sin \theta$ 替换为 $y$，得到直线的直角坐标方程。
3. 计算距离：代入点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 求解。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化点坐标 已知点 $P$ 的极坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$。 则直角坐标为： $x_0=2\cos \frac{\pi }{3}=2\times \frac{1}{2}=1$ $y_0=2\sin \frac{\pi }{3}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ 所以直角坐标点为 $P(1,\sqrt{3})$。

第二步：转化直线方程 已知直线的极坐标方程为 $\rho (\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta )=6$。 展开得：$\rho \cos \theta +\sqrt{3}\rho \sin \theta =6$。 代入 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，得到直角坐标方程为： $x+\sqrt{3}y-6=0$

第三步：计算距离 点 $P(1,\sqrt{3})$ 到直线 $x+\sqrt{3}y-6=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|1+\sqrt{3}(\sqrt{3})-6|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}}$ $d=\frac{|1+3-6|}{\sqrt{1+3}}=\frac{|-2|}{2}=1$

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心转化关系：
   • $x=\rho \cos \theta$
   • $y=\rho \sin \theta$
   • ${\rho }^2=x^2+y^2$
   • $\tan \theta =\frac{y}{x}$
2. 技巧总结：大多数极坐标下的度量问题（距离、夹角等），转化为直角坐标系处理通常更符合直觉且不易出错。
3. 避坑指南：转化直线方程时，务必记得将 $\rho$ 乘进去；计算距离公式时，注意分母是系数平方和的算术平方根。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若直线方程可以变形为 $\rho \cos (\theta -\alpha )=d$，则原点到直线的距离即为 $d$。本题直线可化为 $2\rho (\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta )=6⟹\rho \cos (\theta -\frac{\pi }{3})=3$。这表示原点到该直线的距离为 3，且垂线段的极角为 $\frac{\pi }{3}$。由于点 $(2,\frac{\pi }{3})$ 也在该垂线上，距离可以直接计算为 $|3-2|=1$。
• 变式思考：如果要求点到圆 $\rho =2$ 的最短距离，该如何考虑？ (提示：极坐标下圆心在原点，点到圆心距离为 ${\rho }_0$，最短距离为 $|{\rho }_0-R|$。)

🔗【关联脉络】

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