2026-北京卷-11 填-直线和圆相切

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。核心在于利用几何法，将直线与圆相切的几何条件转化为“圆心到直线的距离等于圆的半径”，通过点到直线的距离公式建立代数方程并求解未知参数 $a$。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）若直线 $ax+y=0$ 与圆 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 相切，则 $a=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：提取圆的核心几何量：由圆的标准方程 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 直接读出圆心坐标 $M(2,2)$ 及半径 $r=\sqrt{4}=2$。
2. 第二步：转换相切的代数充要条件：直线与圆相切的几何本质是圆心到直线的距离 $d$ 恰好等于圆的半径 $r$。
3. 第三步：列方程并控算化简：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，将圆心坐标和直线方程 $ax+y=0$ 代入，使其等于 2。通过两边平方去绝对值与根号，解出一元二次（或一元一次）方程。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

已知圆的方程为： $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 可得：

• 圆心坐标为： $M(2,2)$
• 圆的半径为： $r=\sqrt{4}=2$

已知直线方程为 $ax+y=0$。 根据点到直线的距离公式，圆心 $M(2,2)$ 到该直线的距离 $d$ 为： $d=\frac{|a\times 2+1\times 2|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\frac{|2a+2|}{\sqrt{a^2+1}}$

因为直线与圆相切，所以满足几何条件 $d=r$，即： $\frac{|2a+2|}{\sqrt{a^2+1}}=2$

解得： $a=0$

故答案为： 0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程读取；点到直线的距离公式应用；直线与圆相切的判别准则 $d=r$。
2. 核心方法：几何法（优于联立消元判别式 $\Delta =0$ 的代数法）。
3. 避坑指南：

• 错用联立大算法：部分学生喜欢用代数法，将 $y=-ax$ 代入圆的方程展开，再去算复杂多项式的 $\Delta =0$。这种方法不仅运算量巨大，而且极易算错。处理直线与圆的位置关系，首选几何法（$d$与$r$的关系），能大幅度缩短解题时间。
• 平方漏项：在对 $|2a+2|$ 平方时，切记 $(2a+2{)}^2=4a^2+8a+4$，避免漏掉中间交叉项 $8a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是必修第二册“直线与圆的方程”模块中最经典的填空基础得分题，是高考及各阶段模拟考试对解析几何基本功考查的必设关卡。
2. 结论推广： 一般地，过原点的动直线 $Ax+By=0$ 与圆心在第一象限角平分线上的圆 $(x-R{)}^2+(y-R{)}^2=R^2$ （该圆本身与两坐标轴相切）相切时，若直线斜率存在（即 $y=kx$ 形式），由于圆心 $(R,R)$ 到直线 $kx-y=0$ 的距离为 $\frac{|kR-R|}{\sqrt{k^2+1}}=R⟹|k-1|=\sqrt{k^2+1}⟹k^2-2k+1=k^2+1⟹2k=0⟹k=0$。 这在几何上拥有极其直观的视觉对称性：由于该圆半径为 $R$ 且圆心为 $(R,R)$，它与 $x$ 轴的切点恰好就是 $(R,0)$，而 $x$ 轴自身的方程即为 $y=0$（对应本题中 $a=0$ 的直线 $0x+y=0$）。利用该几何直观特性，可以实现零计算量直接看图秒杀出答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2003-全国卷理-05
• 2003-广东卷-08
• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离