2015-北京卷理-12 填-余弦定理

本题导读

本题考查解三角形中的综合运算。题目给出了三角形的三边长，要求一个涉及二倍角的三角函数比值。解题核心在于先利用余弦定理求出各角的余弦值，再结合正弦定理和二倍角公式进行化简求值。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$a=4$，$b=5$，$c=6$，则 $\frac{\sin 2A}{\sin C}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开目标式：利用二倍角公式 $\sin 2A=2\sin A\cos A$，将目标式化为 $\frac{2\sin A\cos A}{\sin C}$。
2. 利用正弦定理转化：根据正弦定理 $\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{a}{c}$，将正弦比值转化为边长比值。此时目标式变为 $\frac{2a\cos A}{c}$。
3. 利用余弦定理求值：已知三边 $a,b,c$，代入余弦定理公式 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 求出 $\cos A$ 的具体数值。
4. 计算结果：将求得的 $\cos A$ 代入转化后的目标式即可。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用二倍角公式和正弦定理进行恒等变形 所求式为 $\frac{\sin 2A}{\sin C}$。 根据二倍角公式 $\sin 2A=2\sin A\cos A$，得： $\frac{\sin 2A}{\sin C}=\frac{2\sin A\cos A}{\sin C}=2\left(\frac{\sin A}{\sin C}\right)\cos A$ 根据正弦定理 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}$，有 $\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{a}{c}$。 代入上式得： $\frac{\sin 2A}{\sin C}=2\cdot \frac{a}{c}\cdot \cos A=\frac{2a\cos A}{c}$

第二步：利用余弦定理求 $\cos A$ 已知 $a=4,b=5,c=6$。 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\times 5\times 6}$ $\cos A=\frac{25+36-16}{60}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$

第三步：代入求值 将 $a=4,c=6,\cos A=\frac{3}{4}$ 代入第一步推导的公式： $\frac{\sin 2A}{\sin C}=\frac{2\times 4\times \frac{3}{4}}{6}=\frac{6}{6}=1$

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式套路：在解三角形中，看到 $\sin 2A$ 几乎必用二倍角公式展开；看到 $\frac{\sin A}{\sin C}$ 几乎必用正弦定理转化为边长。
2. 计算优化：本题不建议先求出 $\sin A$ 和 $\sin C$ 的具体根式值再相除，因为过程中涉及 $\sqrt{7}$ 等根式，容易增加计算难度。先进行文字符号的“边角转化”化简后再代值是最优解。
3. 避坑指南：余弦定理分子部分是“夹角的两边平方和减去对边平方”，计算时注意 $a,b,c$ 对应的位置不要放错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题若直接求 $\cos C=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\times 4\times 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$，再求 $\sin A$ 和 $\sin C$，通过原始定义求得结果。
• 变式思考：若题目要求的是 $\frac{\sin (A-B)}{\sin C}$，则需要利用 $C=\pi -(A+B)$ 及和差化积公式进行处理。
• 能力提升：掌握三角形内角的二倍角关系，可以快速判定某些特殊三角形（如若 $\sin 2A=\sin 2B$，则 $A=B$ 或 $A+B=\frac{\pi }{2}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练(Links)

• 2009-北京卷理-12
• 2006-北京卷理-12 填-余弦定理的应用
• 2024-北京卷-16 解-解三角形