2015-北京卷理-18 解-导数切线

本题导读

本题是 2015 年北京理科卷的导数综合大题。第一问考查基础的导数几何意义；第二问要求证明具体的不等式，核心在于构造差值函数并利用单调性判定；第三问上升到含参不等式恒成立问题，考查参数对单调性的影响，要求通过临界值分析锁定参数的最大值。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2) 求证：当 $x\in (0,1)$ 时，$f(x)>2(x+\frac{x^3}{3})$；

(3) 设实数 $k$ 使得 $f(x)>k(x+\frac{x^3}{3})$ 对 $x\in (0,1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（切线方程）：
   • 对方程求导。化简 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$ 后求导更便捷。
   • 求出 $f^{\prime }(0)$ 作为斜率，求出 $f(0)$ 确定切点，利用点斜式写方程。
2. 第二问（不等式证明）：
   • 构造函数：令 $g(x)=f(x)-2(x+\frac{x^3}{3})$。
   • 求导判定：通过求导证明 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。
   • 端点比较：利用 $g(0)=0$ 证明在区间内 $g(x)>0$。
3. 第三问（含参最值）：
   • 由第二问可知 $k=2$ 时成立。
   • 分类讨论：
     • 当 $k⩽2$ 时，由第二问结论直接得证。
     • 当 $k>2$ 时，构造 $h(x)=f(x)-k(x+\frac{x^3}{3})$，通过求导研究其在 $0$ 附近的单调性。若导数在 $0$ 附近为负，则 $h(x)<h(0)=0$，不等式不成立。

✅【答案】

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• 故 $k$ 的最大值为 2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求点 $(0,f(0))$ 处的切线方程 因为 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$， 所以 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{-1}{1-x}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{1-x^2}$。 则斜率 $k_{切}=f^{\prime }(0)=2$。 又因为 $f(0)=\ln 1=0$，切点为 $(0,0)$。 故切线方程为 $y=2x$。

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(2) 求证：$x\in (0,1)$ 时，$f(x)>2(x+\frac{x^3}{3})$ 令 $g(x)=f(x)-2(x+\frac{x^3}{3})$， 则 $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2(1+x^2)=\frac{2}{1-x^2}-2(1+x^2)=\frac{2-2(1-x^4)}{1-x^2}=\frac{2x^4}{1-x^2}$。 当 $x\in (0,1)$ 时，$g^{\prime }(x)>0$。 所以 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。 又 $g(0)=f(0)-2(0+0)=0$， 所以当 $x\in (0,1)$ 时，$g(x)>g(0)=0$。 即 $f(x)>2(x+\frac{x^3}{3})$ 成立。

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(3) 求实数 $k$ 的最大值 由（Ⅱ）知，当 $k⩽2$ 时，不等式易知成立。 设 $h(x)=f(x)-k(x+\frac{x^3}{3})$， 则 $h^{\prime }(x)=\frac{2}{1-x^2}-k(1+x^2)=\frac{2-k(1-x^4)}{1-x^2}=\frac{(2-k)+k{x}^4}{1-x^2}$。

• 若 $k>2$，则 $2-k<0$。 由于 $h^{\prime }(0)=2-k<0$，根据函数连续性，在 $0$ 的右侧附近存在一个小区间使 $h^{\prime }(x)<0$。 此时 $h(x)$ 在该小区间内单调递减，则 $h(x)<h(0)=0$。 这与 $f(x)>k(x+\frac{x^3}{3})$ 对 $x\in (0,1)$ 恒成立矛盾。 因此 $k>2$ 不合题意。
• 故 $k$ 的最大值为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 构造函数的艺术：导数题中，证明 $f(x)>g(x)$ 的通用模板是构造 $F(x)=f(x)-g(x)$ 并求导观察。
2. 临界值思想：在第三问中，通过考察 $x\to 0$ 时导数的极限状态（即切线斜率的对比），可以快速锁定参数的边界。
3. 避坑指南：化简 $\frac{2}{1-x^2}-k(1+x^2)$ 是关键步骤，通分后的分子符号直接决定了单调性的转折。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题函数 $f(x)$ 实际上是泰勒展开式 $\ln \frac{1+x}{1-x}=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\dots )$ 的一部分。不等式的本质是舍去了高阶项。
• 变式思考：若要求 $f(x)<kx$ 在 $(0,1)$ 上恒成立，是否存在这样的 $k$？ (提示：由于 $x\to 1^{-}$ 时 $f(x)\to +\infty$，故不存在。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

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