2015-北京卷理-20 解-数列递推

本题导读

本题是 2015 年北京理科卷的压轴大题，属于创新型数列综合题。题目通过一个分段递推公式定义了一个数列，并考查了数列值的集合性质。第一问要求具体计算；第二问考查倍数性质的传递性；第三问是本题难点，要求在复杂的分段映射下，通过分类讨论寻找集合元素个数的最大值。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$a_1⩽36$，且 $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}2a_n,& a_n⩽18\\ 2a_n-36,& a_n>18\end{array}(n=1,2,\dots )$.记集合 $M=\{a_n|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$.

(1) 若 $a_1=6$，写出集合 $M$ 的所有元素；

(2) 若集合 $M$ 存在一个元素是 3 的倍数，证明：$M$ 的所有元素都是 3 的倍数；

(3) 求集合 $M$ 的元素个数的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（具体计算）：代入 $a_1=6$ 逐步迭代。注意集合元素的互异性，当出现循环时停止列举。
2. 第二问（倍数证明）：
   • 正向推导：若 $a_n$ 是 3 的倍数，则 $2a_n$ 和 $2a_n-36$ 易知也是 3 的倍数，故 $a_{n+1}$ 必为 3 的倍数。
   • 反向推导：若 $a_{n+1}$ 是 3 的倍数，通过解方程分析 $a_n$ 是否必为 3 的倍数。利用 $2a_n=3k$ 或 $2a_n-36=3k$ 均可推导出 $a_n$ 为 3 的倍数。
3. 第三问（最值探索）：
   • 规律观察：数列在 $[1,36]$ 范围内波动。
   • 分类讨论：
     • 若 $a_1$ 是 3 的倍数：由（Ⅱ）知所有元素皆为 3 的倍数。在 $\{3,6,9,\dots ,36\}$ 中寻找最长不重复序列。
     • 若 $a_1$ 不是 3 的倍数：研究 $\{a_n\}$ 除去 3 的倍数后的剩余集合。
   • 穷举或特征分析：通过尝试 $a_1=1$ 等较小值，观察其生成的元素集合。

✅【答案】

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故集合 $M$ 的元素个数的最大值为 8

✍【详细解析】

Abstract

(1) 若 $a_1=6$，求集合 $M$ $a_1=6⩽18⟹a_2=2\times 6=12$; $a_2=12⩽18⟹a_3=2\times 12=24$; $a_3=24>18⟹a_4=2\times 24-36=12$。 此后数列开始循环：$12,24,12,24\dots$ 故集合 $M=\{6,12,24\}$。

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(2) 证明：$M$ 的所有元素都是 3 的倍数 设集合 $M$ 中存在一个元素 $a_k$ 是 3 的倍数。

1. 正向证明：对任意 $n⩾k$。 若 $a_n$ 是 3 的倍数，则 $2a_n$ 必是 3 的倍数。 若 $a_n>18$，则 $a_{n+1}=2a_n-36=3(\frac{2a_n}{3}-12)$，也是 3 的倍数。 由归纳法知，对于所有 $n⩾k$，$a_n$ 均为 3 的倍数。
2. 反向证明：对任意 $1⩽n<k$。 若 $a_{n+1}$ 是 3 的倍数。 由递推式 $a_{n+1}=2a_n$ 或 $a_{n+1}=2a_n-36$。 由于 36 是 3 的倍数，且 $2$ 与 $3$ 互质，故 $a_n$ 必须是 3 的倍数。 由归纳法知，$a_k,a_{k-1},\dots ,a_1$ 均为 3 的倍数。 综上所述，$M$ 的所有元素都是 3 的倍数。

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(3) 求集合 $M$ 的元素个数的最大值 注意到递推式实质上是 $a_{n+1}\equiv 2a_n(\mathrm{mod}36)$。 其取值范围在 $1$ 到 $36$ 之间的整数。

1. 若 $a_1$ 为 3 的倍数： 元素只能从 $\{3,6,9,\dots ,36\}$ 这 12 个数中选取。 由于 $a_n$（$n⩾2$）必为偶数（由递推式可知除 $a_1$ 外均为 2 的倍数），且又是 3 的倍数，则 $a_n\in \{6,12,18,24,30,36\}$。 这部分元素最多只有 6 个，加上可能的 $a_1$，个数不超过 7。
2. 若 $a_1$ 不为 3 的倍数： 由（Ⅱ）可知，所有元素均不是 3 的倍数。 且当 $n⩾2$ 时，$a_n$ 为偶数。 可能的偶数非 3 倍数集合为：$\{2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34\}$，共 12 个。 尝试 $a_1=1$： $a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8,a_5=16,a_6=32,a_7=28,a_8=20,a_9=4\dots$ 集合 $M=\{1,2,4,8,16,32,28,20\}$，共有 8 个元素。 尝试其他起始值发现，由于 $2^n(\mathrm{mod}36)$ 的循环特性，最大元素个数为 8。

故集合 $M$ 的元素个数的最大值为 8。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 同余结构的识别：本题的分段函数实际上是模运算的一种表现。识别出 $a_{n+1}=2a_n(\mathrm{mod}36)$（需微调边界）能极大地简化思维。
2. 集合的循环性：在有限集上的迭代映射必然进入循环。找出循环节的长度是求集合元素个数的关键。
3. 避坑指南：第三问中不要只盯着 3 的倍数看，通常非倍数由于可选基数更大，往往能产生更长的序列。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题可抽象为有限群上的倍乘映射。在模 $m$ 意义下，元素个数与 $2$ 模 $m$ 的阶（order）密切相关。
• 变式思考：如果将递推式中的 36 换成一个质数 $p$，集合 $M$ 的最大元素个数会如何变化？ (提示：这涉及到数论中的原根概念，最大个数通常为 $p-1$ 对应的某个因子。)

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

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