2015-四川卷文-09 单-线性规划

本题导读

可行域顶点 $(-2,8)$、$(2,6)$、$(4,2)$；$xy$ 在边界 $2x+y=10$ 上取最大，$xy=\frac{2x\cdot y}{2}\le \frac{1}{2}{\left(\frac{2x+y}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 设实数 $x$，$y$ 满足

$\{\begin{array}{l}2x+y\le 10,\\ x+2y\le 14,\\ x+y\ge 6,\end{array}$

则 $xy$ 的最大值为 ()

A. $\frac{25}{2}$　　　　　　B. $\frac{49}{2}$　　　　　　C. 12　　　　　　D. 16

🔍【思路分析】

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可行域顶点 $(-2,8)$、$(2,6)$、$(4,2)$；$xy$ 在边界 $2x+y=10$ 上取最大，$xy=\frac{2x\cdot y}{2}\le \frac{1}{2}{\left(\frac{2x+y}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域，三直线 $2x+y=10$、$x+2y=14$、$x+y=6$ 两两相交，顶点为 $(-2,8)$、$(2,6)$、$(4,2)$。

顶点处：$xy=(-2)\times 8=-16$，$xy=2\times 6=12$，$xy=4\times 2=8$。

$z=xy$ 不是线性目标函数，最优解未必在顶点。考察边界 $2x+y=10$（$2\le x\le 4$ 段）：$y=10-2x$，$xy=x(10-2x)$，当 $x=\frac{5}{2}$ 时取最大 $\frac{25}{2}$。

检验 $\left(\frac{5}{2},5\right)$ 满足其余约束：$\frac{5}{2}+10=\frac{25}{2}\le 14$，$\frac{5}{2}+5=\frac{15}{2}\ge 6$，均在可行域内。

也可用均值不等式：$xy=\frac{(2x)\cdot y}{2}\le \frac{1}{2}{\left(\frac{2x+y}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$，当且仅当 $2x=y$ 即 $x=\frac{5}{2}$，$y=5$ 时取等。

故 $xy$ 的最大值为 $\frac{25}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：非线性目标函数 $xy$ 在线性约束下的最值

核心方法：顶点初判 + 边界上用均值不等式（或二次函数）求最值

避坑指南：非线性目标函数最值不一定在顶点取得：顶点 $(2,6)$ 处 $xy=12<\frac{25}{2}$，只在顶点比较会误选 C；取等点 $(\frac{5}{2},5)$ 必须回代检验仍在可行域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划与均值不等式结合是四川卷特色题型，2015、2013、2012 年四川卷理第 9 题均为线性规划。

结论推广：目标函数为 $xy$ 型时，最优解常在某条边界上由均值不等式取得，此时约束式中恰有”和为定值”的一条边界（本题 $2x+y=10$）与 $2x$、$y$ 对应。

方法推广：处理非线性规划：先顶点比较，再逐段检查边界上的最值，最后回代验证取等点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-9
• 2013年四川卷理-9