2007-四川卷文-11 单-投资线性规划利润

本题导读

本题考查线性规划的实际应用，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 $\frac{2}{3}$ 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 ()

A. 36 万元　　　B. 31.2 万元　　　C. 30.4 万元　　　D. 24 万元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设甲、乙投资分别为 $x$，$y$ 万元：$x+y⩽60$，$x⩾\frac{2}{3}y$，$x⩾5$，$y⩾5$。
2. 增加投资不减少利润，最优方案资金用尽：$x+y=60$。
3. 代入 $x=60-y$：$60-y⩾\frac{2}{3}y$ 得 $y⩽36$；$z=0.4(60-y)+0.6y=24+0.2y$ 随 $y$ 增大而增大。
4. $y=36$，$x=24$：$z=24+0.2\times 36=31.2$ 万元。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

设投资甲、乙项目的金额分别为 $x$，$y$ 万元，则约束为 $\{\begin{array}{l}x+y⩽60,\\ x⩾\frac{2}{3}y,\\ x⩾5,\\ y⩾5.\end{array}$ 增加任一项目的投资都会增加利润且不破坏其他约束，故最优方案必使资金用尽：$x+y=60$． 代入 $x=60-y$，由 $x⩾\frac{2}{3}y$ 得 $60-y⩾\frac{2}{3}y$，解得 $y⩽36$． 总利润 $z=0.4x+0.6y=0.4(60-y)+0.6y=24+0.2y$，随 $y$ 增大而增大，故在 $y=36$，$x=24$ 时取最大值 $z=0.4\times 24+0.6\times 36=9.6+21.6=31.2$（万元）． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：投资线性规划利润

核心方法：资金用尽 $x+y=60$，$x⩾\frac{2}{3}y$ 给 $y⩽36$；$z=24+0.2y$ 在 $y=36$ 取 31.2

避坑指南：利润系数乙大于甲，最优解尽量多投乙；约束 $x⩾\frac{2}{3}y$ 是甲不小于乙的三分之二，别反向列成 $y⩾\frac{2}{3}x$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划实际应用是新课标新增板块的四川卷首秀

结论推广：推广到整数约束下的装载、下料等离散规划问题

方法推广：实际规划题先列约束再观察目标函数方向，“尽量多投利润率高的项目”用不等式组验证边界

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2015-四川卷文-09 单-线性规划
• 2013-四川卷文-08 单-线性规划最值
• 2009-四川卷文-10 单-线性规划利润
• 2011-四川卷文-10 单-线性规划实际应用