2015-四川卷文-11 填-复数运算

本题导读

$i-\frac{1}{i}=i-(-i)=2i$。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $i-\frac{1}{i}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$i-\frac{1}{i}=i-(-i)=2i$。

✅【答案】

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$2i$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{i}=\frac{1\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}=\frac{-i}{1}=-i$。

故 $i-\frac{1}{i}=i-(-i)=i+i=2i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法化简

核心方法：用 $\frac{1}{i}=-i$（分子分母同乘 $-i$）一步化简

避坑指南：$\frac{1}{i}=-i$ 而不是 $i$；同乘 $-i$ 后 $i\cdot (-i)=-i^2=1$，符号看错会得 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数代数运算为四川卷填空常客，2015 年四川卷理第 2 题、2014 年四川卷理第 11 题同型。

结论推广：任何形如 $\frac{a+bi}{c+di}$ 的化简都归结为”同乘共轭”一步，$\frac{1}{i}=-i$、$\frac{1}{-i}=i$ 是最常用的两条捷径。

方法推广：复数小题先写 $i^2=-1$，再按多项式除法展开，最后整理为 $a+bi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-2
• 2014-四川卷理-11 填-复数的除法运算