2015-四川卷理-13 填-指数函数

本题导读

本题是一个典型的指数函数模型应用题。核心考点在于通过已知的数据点建立关于参数 $k$ 和 $b$ 的方程组。解题的关键技巧在于不必求出具体的 $k,b$ 值，而是通过指数运算律进行“整体代换”，从而快速求得目标值。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储存温度 $x$（单位：${}^{\circ }$C）满足函数关系 $y=e^{kx+b}$（$e=2.718\cdots$ 为自然对数的底数，$k,b$ 为常数）.若该食品在 $0^{\circ }$C 的保鲜时间是 $192$ 小时，在 $22^{\circ }$C 的保鲜时间是 $48$ 小时，则该食品在 $33^{\circ }$C 的保鲜时间是 $\underline{}$ 小时.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立方程组：
   • 当 $x=0$ 时，$y=e^{0k+b}=e^b=192$。
   • 当 $x=22$ 时，$y=e^{22k+b}=48$。
2. 利用指数运算律寻找比例关系：
   • 观察 $e^{22k+b}=e^{22k}\cdot e^b$。
   • 计算 $e^{22k}=\frac{e^{22k+b}}{e^b}=\frac{48}{192}=\frac{1}{4}$。
   3. 整体代换求解目标值：
   • 目标是求 $x=33$ 时的 $y$ 值，即 $y_{33}=e^{33k+b}$。
   • 观察温度变化：$33$ 是 $22$ 的 $1.5$ 倍（或利用 $33k=\frac{3}{2}\times 22k$）。
   • 变形：$e^{33k+b}=e^{33k}\cdot e^b=(e^{22k}{)}^{1.5}\cdot e^b$。
   • 代入已知数值进行计算。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出已知条件 由题意得： (1) $e^b=192$ (2) $e^{22k+b}=48$

第二步：求出中间变量的幂次 将 (2) 除以 (1)： $\frac{e^{22k+b}}{e^b}=\frac{48}{192}⟹e^{22k}=\frac{1}{4}$ 为了方便后续计算，可以开方求出 $e^{11k}$： $e^{11k}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

第三步：计算目标温度下的保鲜时间 当 $x=33$ 时： $y=e^{33k+b}=e^{33k}\cdot e^b$ 利用整体代换，$33k=3\times 11k$： $y=(e^{11k}{)}^3\cdot e^b$ 代入数值： $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot 192=\frac{1}{8}\cdot 192=24$

答案：24

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：指数函数的运算律 $e^{m+n}=e^m\cdot e^n$，$e^{mn}=(e^m{)}^n$。
• 核心方法：整体代换法。在应用题中，尤其是涉及指数或对数模型时，往往温度（或时间）成比例增加，函数值成固定倍数变化。
• 避坑指南：不要尝试通过对数计算求出 $k$ 的近似值再回代，这样做不仅计算量大，且容易产生舍入误差。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若自变量成等差数列（如 $0,11,22,33$），对应的指数函数值成等比数列（如 $192,?,48,24$）。本题中公比为 $\frac{1}{2}$，步长为 $11$。

• 相关知识点：对数运算律、人口增长模型或半衰期模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-15 填-函数的值域与定义域
• 2014-四川卷理-19 解-等差数列的通项与前 n 项和
• 2016-四川卷理-03