2015-天津卷理-01 单-集合补集

本题导读

本题考查离散型集合的补集与交集运算。核心在于先准确求出集合 B 在全集 U 中的补集，再寻找其与集合 A 的公共元素。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，集合 $A=\{2,3,5,6\}$，集合 $B=\{1,3,4,6,7\}$，则集合 $A\cap {\complement }_{U}B=$ ()

A. $\{2,5\}$　　　B. $\{3,6\}$　　　C. $\{2,5,6\}$　　　D. $\{2,3,5,6,8\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解补集含义：${\complement }_{U}B$ 表示全集 $U$ 中不属于集合 $B$ 的所有元素组成的集合。
2. 计算补集：对比 $U$ 和 $B$，剔除 $B$ 中的元素 $\{1,3,4,6,7\}$，剩下的元素即为 ${\complement }_{U}B$。
3. 求交集：$A\cap {\complement }_{U}B$ 表示既属于 $A$ 又属于 ${\complement }_{U}B$ 的公共元素。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求补集 ${\complement }_{U}B$ 全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 集合 $B=\{1,3,4,6,7\}$ 从 $U$ 中除去 $B$ 包含的元素，得： ${\complement }_{U}B=\{2,5,8\}$

第二步：求交集 $A\cap {\complement }_{U}B$ 集合 $A=\{2,3,5,6\}$ 集合 ${\complement }_{U}B=\{2,5,8\}$ 寻找两集合的公共元素： $2\in A$ 且 $2\in {\complement }_{U}B$； $5\in A$ 且 $5\in {\complement }_{U}B$。 其余元素均不重复。 所以，$A\cap {\complement }_{U}B=\{2,5\}$。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：离散集合的四则运算（交、并、补）。
• 核心方法：排除法/对比法。直接在题目给出的集合列表中标记被剔除或选中的数字，防止遗漏。
• 避坑指南：注意全集 $U$ 的范围，不要把 $U$ 中本就没有的元素（或忽略了 $U$ 中存在的元素，如本题中的 8）算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 集合运算满足分配律，例如 $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$。

• 相关知识点：德·摩根定律 ${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

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