2015-天津卷理-05 单-相交弦定理

本题导读

本题考查圆内的相交弦定理。通过三等分点的比例关系，发现不同弦在交点处产生的乘积相等，从而建立方程求出未知线段长度。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 如图，在圆 $O$ 中，$M,N$ 是弦 $AB$ 的三等分点，弦 $CD,CE$ 分别经过点 $M,N$.若 $CM=2,MD=4,CN=3$，则线段 $NE$ 的长为 ()

A. $\frac{8}{3}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $\frac{10}{3}$　　　　　　　D. $\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 核心定理：利用相交弦定理——圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
2. 建立等式：
   • 对于弦 $AB$ 与 $CD$ 交于点 $M$：$AM\cdot MB=CM\cdot MD$。
   • 对于弦 $AB$ 与 $CE$ 交于点 $N$：$AN\cdot NB=CN\cdot NE$。
3. 利用比例关系：
   • 设 $AM=MN=NB=a$（因为 $M,N$ 是三等分点）。
   • 表示出 $AM\cdot MB=a\cdot (2a)=2a^2$。
   • 表示出 $AN\cdot NB=(2a)\cdot a=2a^2$。
4. 等量代换：
   • 发现 $AM\cdot MB=AN\cdot NB$，进而推出 $CM\cdot MD=CN\cdot NE$。
   • 代入已知数据求解 $NE$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：运用相交弦定理 由图及相交弦定理可得：

1. 弦 $AB,CD$ 相交于 $M⟹AM\cdot MB=CM\cdot MD=2\times 4=8$。
2. 弦 $AB,CE$ 相交于 $N⟹AN\cdot NB=CN\cdot NE=3\cdot NE$。

第二步：分析三等分点隐含的等量关系 由于 $M,N$ 是弦 $AB$ 的三等分点，设 $AM=MN=NB=k$。 则 $MB=MN+NB=2k$， 则 $AN=AM+MN=2k$。 计算乘积： $AM\cdot MB=k\cdot (2k)=2k^2$ $AN\cdot NB=(2k)\cdot k=2k^2$ 所以必有： $AM\cdot MB=AN\cdot NB$

第三步：建立等方程求解 结合上述两个步骤： $CM\cdot MD=CN\cdot NE$ 代入已知数值： $2\times 4=3\times NE$ $8=3\times NE⟹NE=\frac{8}{3}$

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相交弦定理的推导与应用。
• 核心技巧：寻找中间变量。在本题中，$AM\cdot MB$ 和 $AN\cdot NB$ 虽未直接给出数值，但通过“三等分点”这一几何特征，证明了它们相等，从而搭建了 $CD$ 弦与 $CE$ 弦之间的桥梁。
• 避坑指南：不要试图求出 $AB$ 的具体长度，利用比例关系进行等量代换是效率最高的方式。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若点 $P,Q$ 在弦 $AB$ 上且关于中点对称，则过 $P,Q$ 的两弦与 $AB$ 构成的相交弦乘积必相等。

• 相关知识点：切割线定理、割线定理（统称为圆幂定理）。

🔗【关联脉络】

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A

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• 2025-天津卷-12 填-直线与圆相交弦长