2015-天津卷文-05 单-双曲线渐近线

本题导读

圆心 $(2,0)$ 到渐近线的距离为 $\frac{2b}{c}=\sqrt{3}$，结合 $c=2$ 得 $b=\sqrt{3}$，$a^2=1$，选 D。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一个焦点为 $F(2,0)$，且双曲线的渐近线与圆 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 相切，则双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{13}=1$　　B. $\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{9}=1$　　C. $\frac{x^2}{3}-y^2=1$　　D. $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

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圆心 $(2,0)$ 到渐近线的距离为 $\frac{2b}{c}=\sqrt{3}$，结合 $c=2$ 得 $b=\sqrt{3}$，$a^2=1$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

焦点 $F(2,0)$ 在 $x$ 轴上，故 $c=2$。

渐近线 $bx-ay=0$，圆心 $(2,0)$ 到渐近线的距离 $d=\frac{|2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2b}{c}$。

相切即 $d=r$：$\frac{2b}{c}=\sqrt{3}$，代入 $c=2$ 得 $b=\sqrt{3}$。

$a^2=c^2-b^2=4-3=1$，故双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的几何性质；直线与圆相切的条件

核心方法：用圆心到渐近线的距离等于半径列方程，配合 $a^2+b^2=c^2$ 解出 $a,b$

避坑指南：渐近线与圆相切是”圆心到直线的距离=半径”，距离的分子是 $2b$（圆心横坐标恰为 $c$ 时恰好化简为 $\frac{2b}{c}$），与 $a$ 的取值无关的巧合不要误写成一般结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线与圆的交汇题，2012-2014 年天津卷理第 5 题均为”圆锥曲线 + 相切”结构，考查点到直线距离公式。

结论推广：若改为”渐近线与圆相交/相离”，只需把等号改为不等号，得到 $b$ 的取值范围问题。

方法推广：解析几何中”相切”一律翻译为 $d=r$，“过某点”翻译为坐标代入，把几何条件代数化是通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2014-天津卷理-05 单-双曲线的渐近线
• 2013年天津卷理-5
• 2015-天津卷理-05 单-相交弦定理