2015-天津卷理-06 单-双曲线渐近线

本题导读

本题综合考查双曲线与抛物线的几何性质。核心在于通过渐近线所过点确定 $a,b$ 的比例关系，再利用抛物线准线确定双曲线的半焦距 $c$，从而求出标准方程。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的一条渐近线过点 $(2,\sqrt{3})$，且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^2=4\sqrt{7}x$ 的准线上，则双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{21}-\frac{y^2}{28}=1$　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{28}-\frac{y^2}{21}=1$

C. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用渐近线建立 $a,b$ 的关系：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。将已知点代入即可求得 $\frac{b}{a}$。
2. 利用抛物线准线确定 $c$：
   • 抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。
   • 求出 $y^2=4\sqrt{7}x$ 的准线。
   • 双曲线焦点在准线上，说明焦点坐标的绝对值等于准线常数的绝对值，即 $c=|x_{准}|$。
   3. 求解标准方程：利用双曲线基本关系 $c^2=a^2+b^2$ 和第一步得到的比例关系，解出 $a^2$ 和 $b^2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析渐近线 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 因为渐近线过点 $(2,\sqrt{3})$，所以： $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹b^2=\frac{3}{4}{a}^2\text{—— (1)}$

第二步：分析抛物线准线与双曲线焦点 对于抛物线 $y^2=4\sqrt{7}x$，其 $2p=4\sqrt{7}$，则 $\frac{p}{2}=\sqrt{7}$。 其准线方程为 $x=-\sqrt{7}$。 双曲线的一个焦点在准线上，由于双曲线焦点在 $x$ 轴上（由方程形式可知）， 所以双曲线的半焦距 $c=\sqrt{7}$，即 $c^2=7$。

第三步：计算 $a,b$ 并得出方程 在双曲线中，$c^2=a^2+b^2$。 代入已知条件： $a^2+b^2=7\text{—— (2)}$ 将 (1) 代入 (2)： $a^2+\frac{3}{4}{a}^2=7⟹\frac{7}{4}{a}^2=7⟹a^2=4$ 进而得 $b^2=7-4=3$。 所以双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$。

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线渐近线斜率 $\pm \frac{b}{a}$；抛物线准线位置 $x=-\frac{p}{2}$；双曲线基本量 $a,b,c$ 的勾股关系。
• 核心方法：待定系数法。通过几何特征转化为参数 $a,b,c$ 的方程组求解。
• 避坑指南：注意抛物线方程中 $2p$ 的取值，不要在计算准线时丢掉分母中的 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若双曲线渐近线为 $y=\pm kx$，则离心率 $e=\sqrt{1+k^2}$。本题中 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $e=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。

• 相关知识点：椭圆、双曲线、抛物线的统一定义（离心率定义）。

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