2015-天津卷理-14 填-向量线性运算

本题导读

本题是平面向量与最值问题的综合压轴题。核心难点在于将几何图形中的向量 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{AF}$ 用基底（或坐标）表示，转化为关于参数 $\lambda$ 的代数式，最后利用基本不等式求解最小值。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 在等腰梯形 $ABCD$ 中，已知 $AB//DC$，$AB=2,BC=1,\angle ABC=60^{\circ }$.动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $BC$ 和 $DC$ 上，且 $\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{9\lambda }\overrightarrow{DC}$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析几何结构：等腰梯形 $ABCD$ 中，$AB=2,BC=1,\angle B=60^{\circ }$。
   • 过 $C,D$ 分别作 $AB$ 的垂线，易知 $CD=AB-2\cdot BC\cos 60^{\circ }=2-2\cdot \frac{1}{2}=1$。
2. 选择解题策略：
   • 基底法：选取 $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD}$ 为基底（注意夹角和模长）。
   • 坐标法（更直观）：以 $B$ 为原点，$BA$ 所在直线为 $x$ 轴建立坐标系。
3. 向量表达：
   • 表示出 $A,B,C,D$ 各点坐标。
   • 根据比例关系 $\lambda$ 表示点 $E,F$ 的坐标。
   • 写出向量 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{AF}$。
4. 计算数量积并求最值：
   • 计算 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 得到关于 $\lambda$ 的函数。
   • 利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求解最小值。

✅【答案】

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$\frac{29}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立坐标系 以 $B$ 为原点，$BA$ 所在直线为 $x$ 轴，$BC$ 边所在的垂线方向为 $y$ 轴。

• $B(0,0)$，$A(2,0)$。
• 因为 $BC=1,\angle B=60^{\circ }$，所以 $C(1\cdot \cos 60^{\circ },1\cdot \sin 60^{\circ })=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。
• 因为 $ABCD$ 是等腰梯形且 $CD=1$，所以 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=(1,0)$ 是错误的（方向应相反）。由对称性，$D$ 点横坐标为 $A$ 的横坐标减去下底多出的部分，即 $D(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$。 (注：坐标法需极其小心计算，以下改用解析图中的基底法验证。)

第二步：基底法运算 设 $\vec{m}=\overrightarrow{BA},\vec{n}=\overrightarrow{BC}$。则 $|\vec{m}|=2,|\vec{n}|=1,\vec{m}\cdot \vec{n}=2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=1$。

• $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=-\vec{m}+\lambda \vec{n}$。
• $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$。 已知 $\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\vec{m}$。 则 $\overrightarrow{DF}=\frac{1}{9\lambda }(-\frac{1}{2}\vec{m})=-\frac{1}{18\lambda }\vec{m}$。 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=-\vec{m}+\vec{n}+\frac{1}{2}\vec{m}=-\frac{1}{2}\vec{m}+\vec{n}$。 故 $\overrightarrow{AF}=(-\frac{1}{2}-\frac{1}{18\lambda })\vec{m}+\vec{n}$。

第三步：计算数量积 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=(-\vec{m}+\lambda \vec{n})\cdot [-(\frac{1}{2}+\frac{1}{18\lambda })\vec{m}+\vec{n}]$ $=(\frac{1}{2}+\frac{1}{18\lambda }){\vec{m}}^2-\vec{m}\cdot \vec{n}-\lambda (\frac{1}{2}+\frac{1}{18\lambda })\vec{n}\cdot \vec{m}+\lambda {\vec{n}}^2$ 代入 $|\vec{m}{|}^2=4,|\vec{n}{|}^2=1,\vec{m}\cdot \vec{n}=1$： $=4(\frac{1}{2}+\frac{1}{18\lambda })-1-\lambda (\frac{1}{2}+\frac{1}{18\lambda })+\lambda$ $=2+\frac{2}{9\lambda }-1-\frac{1}{2}\lambda -\frac{1}{18}+\lambda$ $=\frac{1}{2}\lambda +\frac{2}{9\lambda }+\frac{17}{18}$

第四步：求最小值 根据基本不等式： $\frac{1}{2}\lambda +\frac{2}{9\lambda }\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}\lambda \cdot \frac{2}{9\lambda }}=2\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}=\frac{12}{18}$ 所以： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}\ge \frac{12}{18}+\frac{17}{18}=\frac{29}{18}$ 当且仅当 $\frac{1}{2}\lambda =\frac{2}{9\lambda }⟹{\lambda }^2=\frac{4}{9}⟹\lambda =\frac{2}{3}$ 时取等号。 由于 $E$ 在 $BC$ 上，$F$ 在 $DC$ 上，需检查 $\lambda$ 范围：$\lambda =2/3\in [0,1]$ 且 $\frac{1}{9\lambda }=\frac{1}{6}\in [0,1]$，符合题意。

答案：$\frac{29}{18}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量的基底分解；向量数量积的运算律；利用基本不等式求最值。
• 核心方法：基底法/坐标法。在规则几何图形（如等腰梯形）中，坐标法计算量较平稳，但基底法逻辑更清晰。
• 避坑指南：向量方向（如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$）极易搞反，导致数量积项符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于此类动点在线段上且比例满足倒数关系的题目，最终往往会化简为 $A\lambda +\frac{B}{\lambda }+C$ 的形式。

• 相关知识点：阿波罗尼斯圆、向量的极化恒等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2023-天津卷-14 填-向量基底与最值
• 2024-天津卷-14 填-平面向量综合
• 2022-高考天津卷-14