2023-天津卷-14 填-向量基底与最值

本题导读

本题考查向量的基底表示。核心在于平面向量基底解题法、余弦定理边角化归法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）在 $△ABC$ 中，$BC=1$，$\angle A=60^{\circ }$，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$。记 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$。用 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 表示 $\overrightarrow{AE}=$ ______；若 $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 的最大值为 ______．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空（线性表示）： 利用向量的中点公式。 $E$ 是 $CD$ 中点，则 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$ ，再结合 $D$ 是 $AB$ 中点即可。

2. 第二空（最值问题）： - 首先将 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{AF}$ 全部用基底 $\vec{a},\vec{b}$ 表示。

   • 利用已知条件 $\angle A=60^{\circ }$ 和 $|\overrightarrow{BC}|=1$ ，通过余弦定理建立关于 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 的等量关系。

   • 将数量积 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 转化为关于 $|\vec{a}|,|\vec{b}|$ 及 $xy$ 的代数式。

   • 利用基本不等式求解该代数式的最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$；最大值 $\frac{13}{24}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：向量线性表示

由点 $D$ 为 $AB$ 的中点，得 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{a}$ 。

由点 $E$ 为 $CD$ 的中点，根据中点向量公式：

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\right)=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

第二步：表示 $\overrightarrow{AF}$

因为 $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ ，所以：

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

第三步：建立边长关系

设 $|\vec{a}|=x,|\vec{b}|=y$ 。在 $\Delta ABC$ 中，由余弦定理及 $|\overrightarrow{BC}|=1,\angle A=60^{\circ }$ 得：

$|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\vec{b}-\vec{a}{|}^2=x^2+y^2-2xy\cos 60^{\circ }=1$

即： $x^2+y^2-xy=1$ ，整理得 $x^2+y^2=1+xy$ 。

第四步：计算数量积并求最值

\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = \left(\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}\right)$$$$= \frac{2}{12}\vec{a}^2 + \left(\frac{1}{12} + \frac{2}{6}\right)\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{6}\vec{b}^2 = \frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{12}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{6}y^2

代入 $\vec{a}\cdot \vec{b}=xy\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}xy$ ：

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{1}{6}(x^2+y^2)+\frac{5}{12}\cdot \frac{1}{2}xy=\frac{1}{6}(1+xy)+\frac{5}{24}xy=\frac{1}{6}+\left(\frac{4+5}{24}\right)xy=\frac{1}{6}+\frac{9}{24}xy=\frac{1}{6}+\frac{3}{8}xy$

由基本不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$ ，结合 $x^2+y^2=1+xy$ 得：

$1+xy\ge 2xy⟹xy\le 1(\text{当且仅当 }x=y=1\text{ 时取等号})$

故当 $xy=1$ 时，数量积取得最大值：

$(\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}{)}_{\max }=\frac{1}{6}+\frac{3}{8}\times 1=\frac{4}{24}+\frac{9}{24}=\frac{13}{24}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多动点系统的基底线性化扩张、余弦定理在非正交基底模长互化中的桥梁作用、基本不等式在隐含代数轨道下的取等条件校验。
2. 核心方法：全量基底化归法、齐次块减元法。
3. 避坑指南：

• 第一空基底符号丢项漏项：在求 $\overrightarrow{AE}$ 时，注意括号前的系数 $\frac{1}{2}$ 必须完整分配给两项，避免出现 $\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}$ （漏写 $\vec{b}$）或系数算错的情况。
• 数量积展开项系数计算笔误：在对分式系数进行加法合并时（如 $\frac{1}{6}+\frac{3}{8}$），务必在草稿纸上进行通分验证（最小公倍数 24），此类压轴填空题没有任何中间步骤分，必须确保最终算术输出绝对精确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考数学卷经典的平面向量压轴填空题。母题模型深度融合了人教A版教材《必修第二册》第六章“平面向量的数量积与余弦定理的综合应用”的探究题。命题立意极高，旨在打击死记硬背几何图形公式的机械刷题者，侧重考查考生利用“代数基底化”手段消解复杂平面几何多图形结构的核心运算能力。
2. 结论推广： 在平面三角形 $\Delta ABC$ 中，已知固定夹角 $\angle A=\theta$ 且对边 $|BC|=L$。设两条动点向量满足基底线性组合关系： $\overrightarrow{AE}={\lambda }_1\vec{a}+{\mu }_1\vec{b},\overrightarrow{AF}={\lambda }_2\vec{a}+{\mu }_2\vec{b}$ 通过上述相同的代数乘积展开与消元法，其余弦数量积恒可重构为关于变量 $xy$ 的一次函数： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\alpha (x^2+y^2)+\beta (xy)=\alpha L^2+(\beta +2\alpha \cos \theta )xy$ 当且仅当满足基本不等式最大边界约束 $xy⩽\frac{L^2}{2(1-\cos \theta )}$ 且系统系数为正时，该数量积的最大值表现为关于三角形参量的常数泛函。掌握此基底代数映射模型，在后续面对任意比例点分割的向量数量积最值大题时，均可通过提取 $\vec{a},\vec{b}$ 的组合特征系数实现简化处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-安徽卷文-16 解-面积数量积与余弦定理
• 2014-天津卷文-13 填-向量数量积