2015-天津卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题通过乒乓球选手的选拔场景，考查古典概型的概率计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望。第一问需要处理分类讨论（同协会种子的选择）；第二问是典型的超几何分布模型。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛.

（I）设 $A$ 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 $A$ 发生的概率；

（II）设 $X$ 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 基础数据统计：
   • 种子选手：甲(2) + 乙(3) = 5 名。
   • 非种子选手：甲(1) + 乙(2) = 3 名。
   • 总人数：8 名。
2. 第一问思路：
   • 总基本事件数：从 8 人中选 4 人，$C_8^4$。
   • 事件 $A$ 情况：
     • 情况1：种子选手全来自甲协会（$C_2^2$），则另外 2 人从 3 名非种子选手中选（$C_3^2$）。
     • 情况2：种子选手全来自乙协会（$C_3^2$），则另外 2 人从 3 名非种子选手中选（$C_3^2$）。
   • 两类情况互斥，求和后计算概率。
3. 第二问思路：
   • 确定 $X$ 取值：从 5 种子、3 非种子中选 4 人。$X$ 可能取 $1,2,3,4$（注意 $X$ 不能取 0，因为非种子选手只有 3 人）。
   • 计算概率：使用超几何分布公式 $P(X=k)=\frac{C_5^k{C}_3^{4-k}}{C_8^4}$。
     • 列分布列并计算 $E(X)=\sum x_i{p}_i$。

✅【答案】

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$P(A)=635；P(X=1)=1$

✍【详细解析】

Abstract

（I）求事件 $A$ 发生的概率

从 8 名运动员中随机选 4 人的总选法为 $C_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$ 种。 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且来自同一个协会的情况：

• 2 名种子全来自甲：$C_2^2\cdot C_3^2=1\times 3=3$ 种；
• 2 名种子全来自乙：$C_3^2\cdot C_3^2=3\times 3=9$ 种。 所以事件 $A$ 包含的基本事件数为 $3+9=12$ 种。 $P(A)=\frac{12}{70}=\frac{6}{35}$

（II）求 $X$ 的分布列和数学期望

随机变量 $X$ 的可能取值为 $1,2,3,4$。

• $P(X=1)=\frac{C_5^1{C}_3^3}{C_8^4}=\frac{5\times 1}{70}=\frac{1}{14}$
• $P(X=2)=\frac{C_5^2{C}_3^2}{C_8^4}=\frac{10\times 3}{70}=\frac{3}{7}$
• $P(X=3)=\frac{C_5^3{C}_3^1}{C_8^4}=\frac{10\times 3}{70}=\frac{3}{7}$
• $P(X=4)=\frac{C_5^4{C}_3^0}{C_8^4}=\frac{5\times 1}{70}=\frac{1}{14}$

$X$ 的分布列为：

$X$	1	2	3	4
$P$	1/14	3/7	3/7	1/14

数学期望： $E(X)=1\times \frac{1}{14}+2\times \frac{3}{7}+3\times \frac{3}{7}+4\times \frac{1}{14}$ $E(X)=\frac{1+12+18+4}{14}=\frac{35}{14}=\frac{5}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：组合数 $C_n^m$ 的准确运用；离散型随机变量的期望定义。
• 关键细节：在确定 $X$ 取值范围时，务必考虑**非种子选手总数（3人）**对样本空间的约束，防止漏掉 $X=1$ 或误加 $X=0$。
• 验证技巧：分布列中所有概率之和必须等于 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 $N=8,M=5,n=4$ 的超几何分布，期望值满足 $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}=4\cdot \frac{5}{8}=2.5$。

• 相关知识点：二项分布与其期望 $np$ 的区别与联系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2013年天津卷理-16
• 2012年天津卷理-16
• 2018-天津卷理-16 解-抽样方法