2015-天津卷文-15 解-分层抽样

本题导读

人数比 $27:9:18=3:1:2$，抽取 3、1、2 人；从 6 人中取 2 人共 15 种，含 $A_5$ 或 $A_6$ 的 9 种，$P(A)=\frac{3}{5}$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27, 9, 18. 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛.

(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(2) 将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$. 现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛.

（i）用所给编号列出所有可能的结果；

（ii）设 $A$ 为事件：“编号为 $A_5$ 和 $A_6$ 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 $A$ 发生的概率.

🔍【思路分析】

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人数比 $27:9:18=3:1:2$，抽取 3、1、2 人；从 6 人中取 2 人共 15 种，含 $A_5$ 或 $A_6$ 的 9 种，$P(A)=\frac{3}{5}$。

✅【答案】

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(1) 应从甲、乙、丙三协会分别抽取 3、1、2 人

(2) （i）共 15 种结果；（ii）$P(A)=\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 抽样比 $=\frac{6}{27+9+18}=\frac{6}{54}=\frac{1}{9}$，故甲、乙、丙分别抽取 $27\times \frac{1}{9}=3$ 人、$9\times \frac{1}{9}=1$ 人、$18\times \frac{1}{9}=2$ 人。

(2) （i）从 6 人中随机抽取 2 人，所有可能的结果为

$(A_1,A_2),(A_1,A_3),(A_1,A_4),(A_1,A_5),(A_1,A_6),(A_2,A_3),(A_2,A_4),(A_2,A_5),(A_2,A_6),(A_3,A_4),(A_3,A_5),(A_3,A_6),(A_4,A_5),(A_4,A_6),(A_5,A_6)$，共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种。

（ii）事件 $A$ 的对立事件 $\bar{A}$ 为”$A_5,A_6$ 都未被抽到”，即 2 人全出自前 4 人，有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。

$P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{6}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样按比例分配；古典概型的列举与计算

核心方法：抽样比乘各层人数；用对立事件化简”至少”型概率

避坑指南：“至少有 1 人被抽到”直接列举容易漏，用对立事件（两人都出自前 4 人）只需 ${\mathrm{C}}_4^2$，计算量大幅下降。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷概率统计解答题的标准形态（抽样 + 古典概型），与 2015 年天津卷理第 16 题及 2016-2019 年理卷同位置题型衔接。

结论推广：把”抽取 2 人”改为”抽取 3 人”，仍可用对立事件：全出自前 4 人为 ${\mathrm{C}}_4^3$，总数 ${\mathrm{C}}_6^3$。

方法推广：“至少”型概率优先考虑对立事件；列举时按首元素从小到大排序，保证不重不漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2018-天津卷理-16 解-抽样方法
• 2015-天津卷理-16 解-古典概型
• 2016-天津卷理-16