2015-天津卷理-18 解-数列递推

本题导读

本题是关于数列的综合解答题。第一问考查通过跳项递推关系和等差中项性质确定数列通项，重点在于对奇、偶项进行分类讨论；第二问考查对数与指数结合后的新数列求和，其通项符合“等差×等比”模型，需采用标准的错位相减法。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}=q{a}_n$（$q$ 为实数，且 $q\ne 1$），$n\in N^{\ast }$，$a_1=1,a_2=2$，且 $a_2+a_3,a_3+a_4,a_4+a_5$ 成等差数列.

（I）求 $q$ 的值和 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（II）设 $b_n=\frac{{\log }_2{a}_{2n}}{a_{2n-1}}$，$n\in N^{\ast }$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 求 $q$：利用等差中项性质：$2(a_3+a_4)=(a_2+a_3)+(a_4+a_5)$。整理得 $a_3-a_2=a_5-a_4$。
   • 代换关系：代入 $a_{n+2}=q{a}_n$ 关系，得到关于 $q$ 的方程。
   • 分类写通项：数列的奇数项 $\{a_{2k-1}\}$ 和偶数项 $\{a_{2k}\}$ 分别是以 $q$ 为公比的等比数列。分别写出通项后，合并为分段函数形式。
2. 第二问思路：
   • 求 $b_n$ 通项：将第一问求得的 $a_{2n}$ 和 $a_{2n-1}$ 代入 $b_n$ 的表达式并化简。
   • 识别求和模型：化简后发现 $b_n=\frac{n}{2^{n-1}}$，即 $n\cdot (\frac{1}{2}{)}^{n-1}$，属于“等差 × 等比”模型。
     • 错位相减：列出 $S_n$，再列出 $\frac{1}{2}{S}_n$，两式相减，利用等比数列求和公式整理得出结果。

✅【答案】

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(I) $q=2,a_n=\{\begin{array}{l}{2}^{\frac{n-1}{2}},n\text{ 为奇数}\\ 2^{\frac{n}{2}},n\text{ 为偶数}\end{array}$；(II) $S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）求 $q$ 的值和 $\{a_n\}$ 的通项公式

由 $a_2+a_3,a_3+a_4,a_4+a_5$ 成等差数列，得： $(a_3+a_4)-(a_2+a_3)=(a_4+a_5)-(a_3+a_4)$ 即 $a_4-a_2=a_5-a_3$。 代入 $a_4=q{a}_2,a_5=q{a}_3,a_3=q{a}_1$： $q{a}_2-a_2=q{a}_3-a_3⟹a_2(q-1)=a_3(q-1)$ 因为 $q\ne 1$，所以 $a_3=a_2=2$。 又因为 $a_3=q{a}_1=q\cdot 1$，得 $q=2$。

求 $\{a_n\}$ 通项：

• 当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k-1$：$a_{2k-1}=a_1\cdot 2^{k-1}=2^{k-1}=2^{\frac{n-1}{2}}$。
• 当 $n$ 为偶数时，设 $n=2k$：$a_{2k}=a_2\cdot 2^{k-1}=2\cdot 2^{k-1}=2^k=2^{\frac{n}{2}}$。 故通项公式为：$a_n=\{\begin{array}{ll}{2}^{\frac{n-1}{2}},& n\text{ 为奇数}\\ 2^{\frac{n}{2}},& n\text{ 为偶数}\end{array}$

（II）求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和

由（I）可得：$a_{2n}=2^n,a_{2n-1}=2^{n-1}$。 代入 $b_n$： $b_n=\frac{{\log }_2{2}^n}{2^{n-1}}=\frac{n}{2^{n-1}}$ 设 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则： $S_n=1\cdot \frac{1}{2^0}+2\cdot \frac{1}{2^1}+3\cdot \frac{1}{2^2}+\cdots +n\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\text{—— (1)}$ 两边同乘以公比 $\frac{1}{2}$： $\frac{1}{2}{S}_n=1\cdot \frac{1}{2^1}+2\cdot \frac{1}{2^2}+\cdots +(n-1)\cdot \frac{1}{2^{n-1}}+n\cdot \frac{1}{2^n}\text{—— (2)}$ (1) - (2) 得： $\frac{1}{2}{S}_n=1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}})-\frac{n}{2^n}$ 利用等比数列求和公式： $\frac{1}{2}{S}_n=1+\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2}{)}^{n-1})}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^n}$ $\frac{1}{2}{S}_n=1+(1-\frac{1}{2^{n-1}})-\frac{n}{2^n}=2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$ 所以： $S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$

答案：(I) $q=2,a_n=\{\begin{array}{l}{2}^{\frac{n-1}{2}},n\text{ 为奇数}\\ 2^{\frac{n}{2}},n\text{ 为偶数}\end{array}$；(II) $S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：跳项递推下的分段通项表达；错位相减法的计算流程。
• 关键细节：在错位相减中，括号内的项数是 $n-1$ 还是 $n$，一定要根据首末项仔细核对，这是最容易丢分的地方。
• 避坑指南：$b_n$ 中的 $a_{2n-1}$ 对应的是 $\{a_n\}$ 的第 $2n-1$ 项，代入时不要错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 $b_n=n\cdot q^{n-1}$，其前 $n$ 项和的通用形式为 $S_n=\frac{1-q^n}{(1-q{)}^2}-\frac{n{q}^n}{1-q}$。

• 相关知识点：裂项相消法、分组求和法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2016-天津卷文-18
• 2022-高考天津卷-18
• 2019-天津卷文-18 解-数列通项