2019-天津卷文-18 解-数列通项

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的通项公式。核心在于方程组法、错位相减或分组求和的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于 $0$ ，已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ 。

(1)求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {1, b_{\frac{n}{2}}, n 为奇数, n 为偶数,$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n}$ （ $n \in N^{*}$ ）。

🔍【思路分析】

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第一问设等差数列公差为 $d$ ，等比数列公比为 $q$ （ $q > 0$ ），根据已知条件列出关于 $3, d, q$ 的方程组，求解出 $d$ 和 $q$ ，进而写出通项公式。

第二问根据 $c_{n}$ 的分段定义，将求和式按奇数项和偶数项进行分组，分别利用等差数列和等比数列（或等比数列前 $n$ 项和公式）进行求和。

✅【答案】

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(1) $a_{n} = 3 n$ ， $b_{n} = 3^{n}$ 。

(2) $S_{n} = 3 n^{2} + \frac{6 n - 3}{2} \cdot 3^{n + 1} + \frac{9}{2}$ 。

✍【详细解析】

Abstract

(1)设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ （ $q > 0$ ）。已知 $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 3$ ，则 $a_{2} = 3 + d$ ， $a_{3} = 3 + 2 d$ ； $b_{2} = 3 q$ ， $b_{3} = 3 q^{2}$ 。由已知条件 $b_{2} = a_{3}$ 及 $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ 可得： ${3 q = 3 + 2 d 3 q^{2} = 4 (3 + d) + 3$ 由第一个方程得 $2 d = 3 q - 3$ ，代入第二个方程： $3 q^{2} = 4 \times 3 + 2 (3 q - 3) + 3 = 12 + 6 q - 6 + 3 = 6 q + 9$ 。化简得 $3 q^{2} - 6 q - 9 = 0 ⟹ q^{2} - 2 q - 3 = 0$ 。解得 $q = 3$ 或 $q = - 1$ 。因为公比大于 $0$ ，故 $q = 3$ 。当 $q = 3$ 时， $2 d = 3 (3) - 3 = 6 ⟹ d = 3$ 。因此，等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为： $a_{n} = 3 + (n - 1) \times 3 = 3 n$ 。等比数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为： $b_{n} = 3 \times 3^{n - 1} = 3^{n}$ 。

(2)设 $S_{n} = a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n}$ 。该和式共有 $2 n$ 项，可分为奇数项和偶数项两部分： $S_{n} = (a_{1} c_{1} + a_{3} c_{3} + \dots + a_{2 n - 1} c_{2 n - 1}) + (a_{2} c_{2} + a_{4} c_{4} + \dots + a_{2 n} c_{2 n})$ 。当 $k$ 为奇数时， $c_{k} = 1$ ，故奇数项为： $a_{1} c_{1} + a_{3} c_{3} + \dots + a_{2 n - 1} c_{2 n - 1} = a_{1} (1) + a_{3} (1) + \dots + a_{2 n - 1} (1)$ $= 3 + 9 + \dots + (6 n - 3)$ 。这是一个首项为 $3$ ，末项为 $6 n - 3$ ，项数为 $n$ 的等差数列求和： $\frac{n [ 3 + ( 6 n - 3 )]}{2} = \frac{n ( 6 n )}{2} = 3 n^{2}$ 。

当 $k = 2 i$ （ $i = 1, 2, \dots, n$ ）为偶数时， $c_{2 i} = b_{i} = 3^{i}$ ，故偶数项为： $a_{2} c_{2} + a_{4} c_{4} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} = a_{2} b_{1} + a_{4} b_{2} + \dots + a_{2 n} b_{n}$ $= 6 \times 3^{1} + 12 \times 3^{2} + 18 \times 3^{3} + \dots + 6 n \times 3^{n}$ $= 6 (1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \dots + n \cdot 3^{n})$ 。令 $T_{n} = 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \dots + n \cdot 3^{n}$ （错位相减法）： $3 T_{n} = 1 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{3} + \dots + (n - 1) \cdot 3^{n} + n \cdot 3^{n + 1}$ 两式相减： $- 2 T_{n} = 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n} - n \cdot 3^{n + 1}$ $= \frac{3 ( 1 - 3 ^{n} )}{1 - 3} - n \cdot 3^{n + 1} = \frac{3 ( 3 ^{n} - 1 )}{2} - n \cdot 3^{n + 1}$ $T_{n} = \frac{2 n - 1}{4} \cdot 3^{n + 1} + \frac{3}{4}$ 。因此偶数项的和为 $6 T_{n} = \frac{3 ( 2 n - 1 )}{2} \cdot 3^{n + 1} + \frac{9}{2} = \frac{6 n - 3}{2} \cdot 3^{n + 1} + \frac{9}{2}$ 。综上所述， $S_{n} = 3 n^{2} + \frac{6 n - 3}{2} \cdot 3^{n + 1} + \frac{9}{2}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比通项、分组求和与错位相减法。

核心方法：错位相减求和法是处理“等差 $\times$ 等比”型数列求和的标准通法。

避坑指南：第二问中注意项数的对应关系，偶数项的角标是 $2 i$ ，对应的 $b$ 的下标是 $i$ ，求和时切勿混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 高考数列解答题的常考综合题。

结论推广: 遇到新定义分段数列求和，首选将其拆分为奇数项和偶数项两组分别处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

2021-天津卷-19 解-数列综合

2008-江苏卷-19 解-数列删项等比

2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比

∑ ( Math )

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