2015-天津卷理-20 解-导数单调性

本题导读

本题是天津卷典型的导数综合压轴题。第一问考查含参幂函数的单调性讨论；第二问考查曲线与其切线的位置关系，本质是利用导数证明切线放缩不等式；第三问属于极难点，考查方程根的间距估计，需要通过构造切线作为辅助线，利用函数的单调性进行“夹逼”放缩。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=nx-x^n,x\in \mathbb{R}$，其中 $n\in N^{\ast },n\ge 2$.

（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（II）设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y=g(x)$，求证：对于任意的正实数 $x$，都有 $f(x)\le g(x)$；

（III）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$（$a$ 为实数）有两个正实根 $x_1,x_2$，求证：$|x_2-x_1|<\frac{a}{1-n}+2$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 求导：$f^{\prime }(x)=n-n{x}^{n-1}=n(1-x^{n-1})$。
   • 分类讨论：由 $n-1$ 的奇偶性决定。
     • 若 $n$ 为奇数，$n-1$ 为偶数，$1-x^{n-1}$ 在 $x=\pm 1$ 处符号变化。
     • 若 $n$ 为偶数，$n-1$ 为奇数，$1-x^{n-1}$ 仅在 $x=1$ 处符号变化。
2. 第二问思路：
   • 确定点 P：令 $f(x)=x(n-x^{n-1})=0,x>0$，得 $x=n^{\frac{1}{n-1}}$。
   • 切线方程：利用导数的几何意义求出点 $P$ 处的切线 $g(x)$。
     • 构造函数证明：令 $F(x)=f(x)-g(x)$，通过 $F^{\prime }(x)$ 的单调性证明 $F(x)\le F(x_P)=0$。
3. 第三问思路：
   • 转化为间距估计：$|x_2-x_1|$ 是方程 $f(x)=a$ 两个根的距离。
   • 切线放缩：利用（II）的结论 $f(x)\le g(x)$，方程 $g(x)=a$ 的根 $x_2^{\prime }$ 满足 $x_2\le x_2^{\prime }$。
   • 原点切线：构造函数在原点处的切线 $h(x)=nx$，同样可证 $f(x)\le h(x)$，得到 $x_1$ 的下界。
   • 组合放缩：通过计算两条切线与 $y=a$ 的交点距离，结合 $x_P$ 的取值范围得出最终不等式。

✅【答案】

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故 $x_2-x_1<\frac{a}{1-n}+2$

✍【详细解析】

Abstract

（I）讨论 $f(x)$ 的单调性

$f^{\prime }(x)=n-n{x}^{n-1}=n(1-x^{n-1})$。

1. 当 $n$ 为奇数时：$n-1$ 为偶数。
   • 令 $f^{\prime }(x)=0⟹x=\pm 1$。
   • 当 $x\in (-\infty ,-1)$ 或 $(1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
   • 当 $x\in (-1,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。
2. 当 $n$ 为偶数时：$n-1$ 为奇数。
   • 令 $f^{\prime }(x)=0⟹x=1$。
   • 当 $x<1$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
   • 当 $x>1$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

（II）证明：$f(x)\le g(x)$

令 $f(x)=0(x>0)⟹x(n-x^{n-1})=0⟹x_0=n^{\frac{1}{n-1}}$。故 $P(x_0,0)$。 切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)=n(1-x_0^{n-1})=n(1-n)=n-n^2$。 切线方程 $g(x)=(n-n^2)(x-x_0)$。 设 $F(x)=f(x)-g(x)$，则 $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-(n-n^2)=n(1-x^{n-1})-(n-n^2)=n^2-n{x}^{n-1}$。 在 $(0,+\infty )$ 上，$F^{\prime }(x)$ 单调递减，且 $F^{\prime }(x_0)=0$。

• 当 $x\in (0,x_0)$ 时，$F^{\prime }(x)>0$，$F(x)$ 增；
• 当 $x\in (x_0,+\infty )$ 时，$F^{\prime }(x)<0$，$F(x)$ 减。 故 $F(x{)}_{max}=F(x_0)=f(x_0)-g(x_0)=0-0=0$。 即对于任意正实数 $x$，$f(x)\le g(x)$。

（III）证明：$|x_2-x_1|<\frac{a}{1-n}+2$

由题意，设 $x_1<x_2$。

1. 右侧根放缩：由（II）知 $f(x)\le g(x)$。方程 $g(x)=a$ 的根为 $x_2^{\prime }$， 则 $(n-n^2)(x_2^{\prime }-x_0)=a⟹x_2^{\prime }=\frac{a}{n-n^2}+x_0$。 由于 $g(x)$ 在右侧递减且 $g(x_2)\ge f(x_2)=a=g(x_2^{\prime })$，故 $x_2\le x_2^{\prime }$。
2. 左侧根放缩：设原点切线 $h(x)=f^{\prime }(0)x=nx$。 容易证明当 $x>0$ 时，$f(x)=nx-x^n<nx=h(x)$。 方程 $h(x)=a$ 的根为 $x_1^{\prime }=\frac{a}{n}$。 由于 $h(x)$ 递增且 $h(x_1)>f(x_1)=a=h(x_1^{\prime })$，故 $x_1>x_1^{\prime }$。
3. 合成不等式： $x_2-x_1<x_2^{\prime }-x_1^{\prime }=\frac{a}{n(1-n)}+x_0-\frac{a}{n}=\frac{a}{n(1-n)}-\frac{a(1-n)}{n(1-n)}+x_0=\frac{an}{n(1-n)}+x_0=\frac{a}{1-n}+x_0$。 由 $n\ge 2$ 可证 $x_0=n^{\frac{1}{n-1}}\le 2$（当 $n=2$ 时取最大值 2）。 故 $x_2-x_1<\frac{a}{1-n}+2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心方法：切线放缩法。利用曲线始终位于切线的一侧（上凸或下凹性质）来估计方程根的范围，是解决根距问题的利器。
• 关键逻辑：将“曲线与水平线 $y=a$ 的交点”转化为“切线与水平线 $y=a$ 的交点”。
• 避坑指南：第一问讨论单调性时，千万不能漏掉 $n$ 为奇数时 $x=-1$ 这个极值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 凸函数（$f^{\prime \prime }(x)<0$）的图象总是在其任意切线的下方。本题中 $f(x)$ 在 $x>0$ 时即为凸函数。

• 相关知识点：拉格朗日中值定理、凸函数性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2024-天津卷-20 解-导数综合
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