2015-天津卷文-11 填-导数求参

本题导读

$f^{\prime }(x)=a(\ln x+1)$，$f^{\prime }(1)=a=3$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=ax\ln x$，$x\in (0,+\infty )$，其中 $a$ 为实数，$f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数. 若 $f^{\prime }(1)=3$，则 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$f^{\prime }(x)=a(\ln x+1)$，$f^{\prime }(1)=a=3$。

✅【答案】

点击查看答案

3

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=a\left(\ln x+x\cdot \frac{1}{x}\right)=a(\ln x+1)$。

$f^{\prime }(1)=a(\ln 1+1)=a=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本初等函数的求导公式；导数的乘法法则

核心方法：先求导再代值

避坑指南：$\ln 1=0$，故 $f^{\prime }(1)$ 只剩 $a$；若把 $(x\ln x{)}^{\prime }$ 误写成 $\ln x$ 漏掉乘积法则的第二项，会得到 $a\ln 1=0$ 的错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数运算法则的基础题，天津卷及各地卷常以填空形式考查”求导 + 待定系数”。

结论推广：推广到 $f(x)=a{x}^k\ln x$，$f^{\prime }(x)=a{x}^{k-1}(k\ln x+1)$，代值点一般选 $x=1$ 或 $x=\mathrm{e}$。

方法推广：含 $\ln x$ 的乘积函数求导，乘积法则展开后往往可以因式化简，先化简再代值能减少计算量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

• 2015-天津卷理-11 填-定积分
• 2018-天津卷理-10 填-二项式定理
• 2015-天津卷理-20 解-导数单调性